Укажите первообразную функции f(x)=3x^2-sin x

Первообразная функции f(x)=3x^2-sin x равна F(x) = x^3 + cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = 3x^2 - \sin x ), необходимо выполнить интегрирование каждого слагаемого функции отдельно. Первообразная функции ( f(x) ) обозначается как ( F(x) ) и определяется таким образом, что ( F'(x) = f(x) ).

1. Интегрирование первого слагаемого ( 3x^2 ):

   Для нахождения первообразной ( x^n ), где ( n \neq -1 ), используется формула: [ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ] Применим эту формулу к ( 3x^2 ): [ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 ]

2. Интегрирование второго слагаемого (-\sin x):

   Известно, что первообразная функции (-\sin x) равна (\cos x), поскольку производная (\cos x) равна (-\sin x). Следовательно: [ \int -\sin x \, dx = \cos x ]

3. Объединение результатов:

   Теперь объединим найденные первообразные для каждого слагаемого: [ F(x) = x^3 + \cos x + C ] Здесь ( C ) — произвольная постоянная интегрирования, которая возникает в результате неопределенного интегрирования.

Таким образом, первообразная функции ( f(x) = 3x^2 - \sin x ) есть: [ F(x) = x^3 + \cos x + C ] где ( C ) — произвольная постоянная.

Для нахождения первообразной функции f(x)=3x^2-sin(x) нужно найти антипроизводную от каждого слагаемого по отдельности.

Для слагаемого 3x^2 используем формулу интегрирования степенной функции: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная. Применяя эту формулу к слагаемому 3x^2, получаем: ∫3x^2 dx = x^3 + C1, где C1 - постоянная интегрирования.

Для слагаемого -sin(x) используем известное правило интегрирования синуса: ∫sin(x) dx = -cos(x) + C2, где C2 - также произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x)=3x^2-sin(x) будет равна F(x) = x^3 - cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.