У=0,5x^2-7x+12 ln x+8 Определить точку максимума

Для определения точки максимума функции ( y = 0.5x^2 - 7x + 12 \ln x + 8 ) сначала найдем производную этой функции и решим уравнение (\frac{dy}{dx} = 0), чтобы найти критические точки.

Шаг 1: Найти производную функции

Функция состоит из нескольких частей, поэтому найдем производную каждой части отдельно:

1. Производная от ( 0.5x^2 ) равна ( x ).
2. Производная от (-7x) равна (-7).
3. Производная от (12 \ln x) равна (\frac{12}{x}).
4. Производная от 8 равна 0, так как это константа.

Таким образом, производная функции будет:

[ \frac{dy}{dx} = x - 7 + \frac{12}{x} ]

Шаг 2: Найти критические точки

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

[ x - 7 + \frac{12}{x} = 0 ]

Умножим всё уравнение на (x) для избавления от дроби:

[ x^2 - 7x + 12 = 0 ]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 ]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{2} ]

Отсюда получаем два значения:

[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{6}{2} = 3 ]

Шаг 3: Определить точки максимума и минимума

Чтобы определить, какая из критических точек является точкой максимума, а какая точкой минимума, нужно исследовать знак второй производной в этих точках.

Вторая производная функции:

[ \frac{d^2y}{dx^2} = 1 - \frac{12}{x^2} ]

1. Для (x = 3):

[ \frac{d^2y}{dx^2} = 1 - \frac{12}{9} = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} ]

Поскольку вторая производная отрицательна, (x = 3) является точкой максимума.

1. Для (x = 4):

[ \frac{d^2y}{dx^2} = 1 - \frac{12}{16} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} ]

Поскольку вторая производная положительна, (x = 4) является точкой минимума.

Вывод

Точка максимума для функции ( y = 0.5x^2 - 7x + 12 \ln x + 8 ) находится при ( x = 3 ).

Для определения точки максимума данной функции сначала необходимо найти производную этой функции и приравнять её к нулю.

y' = 1x - 7 + 12/x = 0

Далее решаем уравнение относительно x:

0,5x^2 - 7x + 12/x = 0

После нахождения корней уравнения и проверки второй производной можно определить точку максимума данной функции.