Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A(-4;1) , B(0;1) , C (-2;4). 1) Докажите , что ( <...

1) Для доказательства угла можно воспользоваться формулой косинусов: cos(

1) Для доказательства, что треугольник ABC является прямоугольным, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Для этого нужно вычислить длины сторон AB, BC и AC, а затем проверить, выполняется ли соотношение a^2 + b^2 = c^2, где a, b и c - длины сторон треугольника.

Длина стороны AB: AB = √((0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2) = √(4^2 + 0^2) = √16 = 4

Длина стороны BC: BC = √((-2 - 0)^2 + (4 - 1)^2) = √((-2)^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13

Длина стороны AC: AC = √((-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2) = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13

Подставляем найденные значения в теорему Пифагора: AC^2 = AB^2 + BC^2 13^2 = 4^2 + (√13)^2 169 = 16 + 13 169 = 29

Таким образом, равенство не выполняется, следовательно, треугольник ABC не является прямоугольным.

2) Для нахождения длины высоты CD треугольника ABC можно воспользоваться формулой для нахождения высоты прямоугольного треугольника, а именно h = (a * b) / c, где h - длина высоты, а, b - катеты, c - гипотенуза.

Для треугольника ABC катетами будут стороны AC и BC, а гипотенузой - сторона AB. Найдем длины сторон AC и BC:

AC = √13 BC = √13 AB = 4

Теперь подставим найденные значения в формулу для нахождения высоты: CD = (AC BC) / AB CD = (√13 √13) / 4 CD = 13 / 4 CD = 3.25

Таким образом, длина высоты CD треугольника ABC равна 3.25.

Для решения задач давайте сначала разберемся с каждым из пунктов по отдельности.

1) Доказательство, что (\angle ACB) — прямой угол

Чтобы доказать, что угол (\angle ACB) является прямым углом, необходимо показать, что векторы, образующие этот угол, перпендикулярны. Векторы (\overrightarrow{AC}) и (\overrightarrow{BC}) будут перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Сначала найдем координаты векторов (\overrightarrow{AC}) и (\overrightarrow{BC}):

• (\overrightarrow{AC} = C - A = (-2 - (-4), 4 - 1) = (2, 3))
• (\overrightarrow{BC} = C - B = (-2 - 0, 4 - 1) = (-2, 3))

Теперь найдем их скалярное произведение:

[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = (2) \cdot (-2) + (3) \cdot (3) = -4 + 9 = 5 ]

Поскольку скалярное произведение не равно нулю, угол (\angle ACB) не является прямым.

2) Найдите длину высоты CD треугольника ABC

Для нахождения длины высоты (CD), опущенной из вершины (C) на сторону (AB), необходимо сначала определить длину стороны (AB) и уравнение прямой, проходящей через точку (C) и перпендикулярной (AB).

Длина стороны AB:

Координаты точек (A) и (B) следующие: (A(-4, 1)) и (B(0, 1)). Длина отрезка (AB) равна:

[ AB = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4^2} = 4 ]

Уравнение прямой AB:

Поскольку точки (A) и (B) имеют одинаковую координату (y), сторона (AB) — горизонтальная линия с уравнением (y = 1).

Уравнение высоты CD:

Высота (CD) будет вертикальной линией, потому что она перпендикулярна горизонтальной линии (AB). Таким образом, уравнение высоты будет (x = -2), так как это (x)-координата точки (C).

Длина высоты CD:

Так как линия (AB) горизонтальна и лежит на уровне (y = 1), а (C) имеет координаты ((-2, 4)), длина высоты (CD) равна разнице (y)-координат точки (C) и линии (AB):

[ CD = |4 - 1| = 3 ]

Таким образом, длина высоты (CD) треугольника (ABC) равна 3 единицам.