Точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t^3/6+3t^2-5 (время измеряется в секундах,координата- в метрах).Найдите а)момент времени t,когда ускорение точки равно нулю; б) скорость движения точки в этот момент.
Точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t^3/6+3t^2-5 (время измеряется в секундах,координата- в метрах).Найдите а)момент времени t,когда ускорение точки равно нулю; б) скорость движения точки в этот момент.
Для решения задачи начнем с нахождения ускорения точки.
a) Ускорение точки (a(t)) определяется как вторая производная координаты (x(t)) по времени (t).
Дано: [ x(t) = -\frac{t^3}{6} + 3t^2 - 5 ]
Сначала найдем первую производную (v(t)), которая представляет собой скорость точки: [ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( -\frac{t^3}{6} + 3t^2 - 5 \right) ]
Производная суммы равна сумме производных: [ v(t) = -\frac{1}{6} \cdot 3t^2 + 3 \cdot 2t = -\frac{1}{2}t^2 + 6t ]
Теперь найдем вторую производную (a(t)), которая представляет собой ускорение точки: [ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( -\frac{1}{2}t^2 + 6t \right) ]
Производная суммы равна сумме производных: [ a(t) = -\frac{1}{2} \cdot 2t + 6 = -t + 6 ]
Нам нужно найти момент времени (t), когда ускорение (a(t)) равно нулю: [ -t + 6 = 0 ]
Решим это уравнение: [ t = 6 ]
Таким образом, ускорение точки равно нулю в момент времени (t = 6) секунд.
b) Теперь найдем скорость движения точки в этот момент. Для этого подставим (t = 6) в выражение для скорости (v(t)):
[ v(t) = -\frac{1}{2}t^2 + 6t ]
Подставим (t = 6): [ v(6) = -\frac{1}{2}(6)^2 + 6 \cdot 6 ] [ v(6) = -\frac{1}{2} \cdot 36 + 36 ] [ v(6) = -18 + 36 ] [ v(6) = 18 ]
Таким образом, скорость движения точки в момент времени, когда ускорение равно нулю, составляет 18 м/с.
а) Для нахождения момента времени t, когда ускорение точки равно нулю, необходимо найти производную функции x(t) дважды и приравнять её к нулю.
x(t) = -t^3/6 + 3t^2 - 5
Найдем первую производную:
v(t) = dx/dt = -t^2/2 + 6t
Найдем вторую производную:
a(t) = dv/dt = -t + 6
Теперь приравниваем a(t) к нулю и решаем уравнение:
-t + 6 = 0 t = 6
Итак, момент времени t, когда ускорение точки равно нулю, равен 6 секундам.
б) Чтобы найти скорость движения точки в этот момент, подставим найденное значение t = 6 в выражение для скорости v(t):
v(6) = -(6)^2/2 + 6 * 6 v(6) = -18 + 36 v(6) = 18 м/с
Таким образом, скорость движения точки в момент времени t = 6 секунд составляет 18 м/с.
