Tg^2 x + (1 + √3) Tg x + √3 = 0 Решить это уравнение Указать принадлежащие корни этого уравнения ,лежащие...

Для решения данного уравнения сначала введем замену: пусть tg x = y. Тогда уравнение примет вид:

y^2 + (1 + √3)y + √3 = 0

Далее решим данное квадратное уравнение относительно y. Для этого воспользуемся дискриминантом:

D = (1 + √3)^2 - 4√3 = 4 + 2√3 + 3 - 4√3 = 7

Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня:

y1 = (-1 - √3)/2 y2 = (-1 + √3)/2

Теперь найдем соответствующие значения tg x:

tg x1 = (-1 - √3)/2 tg x2 = (-1 + √3)/2

Теперь проверим, какие из корней удовлетворяют условию принадлежности отрезку [5π/2;4π]. Для этого сравним значения arctg x1 и arctg x2 с данным отрезком.

arctg x1 ≈ 2.356 (не удовлетворяет условию) arctg x2 ≈ 4.319 (удовлетворяет условию)

Таким образом, корень уравнения tg x = (-1 + √3)/2 лежит на отрезке [5π/2;4π].

Для решения заданного уравнения ( \tan^2 x + (1 + \sqrt{3}) \tan x + \sqrt{3} = 0 ), мы можем сначала подставить ( t = \tan x ), тогда уравнение примет вид: [ t^2 + (1 + \sqrt{3}) t + \sqrt{3} = 0. ]

Используя формулу корней квадратного уравнения ( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ), подставим ( a = 1 ), ( b = 1 + \sqrt{3} ), ( c = \sqrt{3} ) и найдем корни: [ t = \frac{-(1+\sqrt{3}) \pm \sqrt{(1+\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{3}}}{2 \cdot 1}. ]

Расчет дискриминанта: [ (1+\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 4\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3}. ]

Тогда уравнение для корней примет вид: [ t = \frac{-(1+\sqrt{3}) \pm \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{2}. ]

Рассчитаем корни: [ t_1 = \frac{-(1+\sqrt{3}) + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{2}, \quad t_2 = \frac{-(1+\sqrt{3}) - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{2}. ]

Для нахождения точного значения корней воспользуемся калькулятором или численными методами. После нахождения численных значений корней ( t_1 ) и ( t_2 ), решим уравнение ( \tan x = t_1 ) и ( \tan x = t_2 ).

Тангенс периодичен с периодом ( \pi ), т.е. если ( x_0 ) — решение уравнения, то все решения можно записать как: [ x = x_0 + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Теперь нужно найти те решения, которые принадлежат отрезку ([5\pi/2; 4\pi]). Для этого найдите соответствующие ( k ), при которых ( x_0 + k\pi ) попадает в указанный отрезок.

Примечание: для точного нахождения численных значений корней и проверки принадлежности интервалу может понадобиться использование калькулятора или математического ПО.