Tg пи( x+9 ) / 6= корень из 3

Рассмотрим уравнение:

[ \text{tg}\left(\frac{\pi(x+9)}{6}\right) = \sqrt{3}. ]

Рассмотрим решение пошагово:

1. Свойства тангенса:

Тангенс принимает значения (\sqrt{3}) в определённых точках. Вспомним основные значения тангенса на тригонометрической окружности:

[ \text{tg}(\pi/3) = \sqrt{3}. ]

Так как функция тангенса периодична с периодом (\pi), то общее решение для аргумента (\alpha), при котором (\text{tg}(\alpha) = \sqrt{3}), имеет вид:

[ \alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

2. Работа с уравнением:

В нашем случае аргумент тангенса — это (\frac{\pi(x+9)}{6}). Подставляем это в общее решение:

[ \frac{\pi(x+9)}{6} = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

3. Упростим уравнение:

Разделим обе части уравнения на (\pi), чтобы избавиться от (\pi):

[ \frac{x+9}{6} = \frac{1}{3} + k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Теперь умножим обе части на 6:

[ x + 9 = 2 + 6k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

4. Выразим (x):

Вычтем 9 из обеих частей уравнения:

[ x = -7 + 6k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

5. Общее решение:

Общий вид решения:

[ x = -7 + 6k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

6. Проверка:

Если подставить (x = -7 + 6k) обратно в исходное уравнение, то оно выполняется для всех целых значений (k), так как тангенс периодичен с периодом (\pi).

Итог:

Общее решение уравнения:

[ x = -7 + 6k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Для решения уравнения (\frac{\tan(\pi(x + 9))}{6} = \sqrt{3}) начнем с преобразования его в более удобную форму.

1. Умножим обе стороны уравнения на 6:

[ \tan(\pi(x + 9)) = 6\sqrt{3} ]

1. Теперь нам нужно найти значения (x), для которых (\tan(\pi(x + 9)) = 6\sqrt{3}). Напомним, что функция тангенс имеет период (\pi), что означает, что если (\tan(\theta) = k), то:

[ \theta = \arctan(k) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Здесь (k = 6\sqrt{3}), и мы можем записать:

[ \pi(x + 9) = \arctan(6\sqrt{3}) + n\pi ]

1. Теперь найдем (\arctan(6\sqrt{3})). Это значение можно оставить в виде (\arctan(6\sqrt{3})) или вычислить его численно, но для дальнейших преобразований достаточно оставить его в этом виде.

2. Разделим обе стороны на (\pi):

[ x + 9 = \frac{\arctan(6\sqrt{3})}{\pi} + n ]

1. Теперь выразим (x):

[ x = \frac{\arctan(6\sqrt{3})}{\pi} + n - 9 ]

1. В этом уравнении (n) принимает значения из множества целых чисел (\mathbb{Z}). Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

[ x = \frac{\arctan(6\sqrt{3})}{\pi} + n - 9, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Теперь, если вам нужно найти численное значение (\arctan(6\sqrt{3})), вы можете это сделать с помощью калькулятора или математических таблиц. Однако, для большинства задач достаточно оставить ответ в аналитической форме.

Если вы хотите узнать, как выглядит (\arctan(6\sqrt{3})), можно приблизительно вычислить:

[ \arctan(6\sqrt{3}) \approx 1.249 \text{ радиан} ]

Таким образом, окончательное решение будет:

[ x \approx \frac{1.249}{\pi} + n - 9, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Периодические решения будут зависеть от целого числа (n).

Чтобы решить уравнение (\frac{\tan(\pi(x + 9))}{6} = \sqrt{3}), умножим обе стороны на 6:

[ \tan(\pi(x + 9)) = 6\sqrt{3} ]

Теперь найдем общий угол, для которого тангенс равен (6\sqrt{3}):

[ \pi(x + 9) = \arctan(6\sqrt{3}) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Разделим на (\pi):

[ x + 9 = \frac{\arctan(6\sqrt{3})}{\pi} + k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

И, наконец, выразим (x):

[ x = \frac{\arctan(6\sqrt{3})}{\pi} + k - 9, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Это общее решение уравнения.