Таблица распределения выборки суммы баллов после четырех вступительных экзаменов имеет вид ВАРИАНТА 12 ,13 ,14 ,15 ,16, 17, 18, 19, 20. а кратность 5, 1, 7, 12, 10, 9, 5, 3, 2. А) составьте многоугольник распределения кратностей, Б)Определите моду, размах и среднее значение
Для анализа данной выборки суммы баллов после четырех вступительных экзаменов, начнем с составления многоугольника распределения кратностей, а затем определим моду, размах и среднее значение.
Многоугольник распределения кратностей строится на основе данных таблицы, где по оси X откладываются варианты (значения суммы баллов), а по оси Y — их кратности (частоты).
Шаги для построения многоугольника распределения кратностей:
Для наших данных:
Точки для многоугольника: (12, 5), (13, 1), (14, 7), (15, 12), (16, 10), (17, 9), (18, 5), (19, 3), (20, 2)
А) Мода Мода — это значение, которое встречается наиболее часто.
В нашем случае, кратности следующие:
Наибольшая кратность — 12, соответствует варианту 15.
Таким образом, мода = 15.
Б) Размах Размах — это разница между максимальным и минимальным значениями варианта.
Размах = 20 - 12 = 8
Таким образом, размах = 8.
В) Среднее значение Среднее значение (среднее арифметическое) вычисляется как сумма всех значений, умноженных на их кратности, деленная на общую кратность.
Формула для среднего значения: [ \bar{X} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i} ]
Где ( x_i ) — варианты, ( f_i ) — кратности.
Подсчитаем сумму произведений ( x_i \cdot f_i ): [ 12 \cdot 5 + 13 \cdot 1 + 14 \cdot 7 + 15 \cdot 12 + 16 \cdot 10 + 17 \cdot 9 + 18 \cdot 5 + 19 \cdot 3 + 20 \cdot 2 ]
Выполним вычисления: [ 12 \cdot 5 = 60 ] [ 13 \cdot 1 = 13 ] [ 14 \cdot 7 = 98 ] [ 15 \cdot 12 = 180 ] [ 16 \cdot 10 = 160 ] [ 17 \cdot 9 = 153 ] [ 18 \cdot 5 = 90 ] [ 19 \cdot 3 = 57 ] [ 20 \cdot 2 = 40 ]
Сумма этих произведений: [ 60 + 13 + 98 + 180 + 160 + 153 + 90 + 57 + 40 = 851 ]
Подсчитаем общую кратность: [ 5 + 1 + 7 + 12 + 10 + 9 + 5 + 3 + 2 = 54 ]
Среднее значение: [ \bar{X} = \frac{851}{54} \approx 15.76 ]
Таким образом, среднее значение ≈ 15.76.
А) Для составления многоугольника распределения кратностей построим таблицу:
| Сумма баллов | Кратность |
|---|---|
| 12 | 5 |
| 13 | 1 |
| 14 | 7 |
| 15 | 12 |
| 16 | 10 |
| 17 | 9 |
| 18 | 5 |
| 19 | 3 |
| 20 | 2 |
Теперь построим многоугольник распределения кратностей, где по горизонтальной оси откладываются суммы баллов, а по вертикальной - их кратности.
Б) Мода - это значение, которое встречается наиболее часто. В данном случае мода равна 15, так как сумма баллов 15 встречается 12 раз.
Размах - разница между наибольшим и наименьшим значениями выборки. В данном случае наибольшее значение 20, а наименьшее 12, следовательно, размах равен 20-12=8.
Среднее значение - это сумма всех значений выборки, деленная на их количество. Среднее значение можно найти, умножив каждое значение на соответствующую кратность, сложив результаты и разделив на общее количество значений. В данном случае среднее значение равно (125 + 131 + 147 + 1512 + 1610 + 179 + 185 + 193 + 20*2) / (5 + 1 + 7 + 12 + 10 + 9 + 5 + 3 + 2) = 16,07.
