Швея собиралась сшить 120 воротников к определенному сроку.Она подсчитала , что если будет в час шить на 2 воротника больше , чем наметила первоначально то уже за 3 ч до срока сошьет 136 воротников . Сколько воротников в час швея предполагала шить первоначально?
Давайте обозначим количество воротников, которое швея предполагала шить в час первоначально, как ( x ).
Тогда, согласно условию, если швея будет шить на 2 воротника в час больше, то есть ( x + 2 ) воротников в час, она сможет сшить 136 воротников за ( t - 3 ) часов, где ( t ) — первоначально запланированное время для изготовления 120 воротников.
Составим два уравнения:
Теперь у нас есть система уравнений:
[ \begin{cases} 120 = x \cdot t \ 136 = (x + 2) \cdot (t - 3) \end{cases} ]
Из первого уравнения выразим ( t ):
[ t = \frac{120}{x} ]
Подставим это выражение во второе уравнение:
[ 136 = (x + 2) \cdot \left(\frac{120}{x} - 3\right) ]
Раскроем скобки:
[ 136 = (x + 2) \cdot \left(\frac{120 - 3x}{x}\right) ]
Упростим выражение:
[ 136 = \frac{(x + 2)(120 - 3x)}{x} ]
Теперь умножим обе части уравнения на ( x ) для избавления от дроби:
[ 136x = (x + 2)(120 - 3x) ]
Раскроем скобки справа:
[ 136x = 120x + 240 - 3x^2 - 6x ]
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
[ 3x^2 + 136x - 120x + 6x - 240 = 0 ]
Упростим уравнение:
[ 3x^2 + 22x - 240 = 0 ]
Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
[ D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-240) ]
[ D = 484 + 2880 = 3364 ]
Теперь найдем корни уравнения:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 \pm \sqrt{3364}}{6} ]
Поскольку (\sqrt{3364} = 58), у нас получаются корни:
[ x = \frac{-22 + 58}{6} = \frac{36}{6} = 6 ]
[ x = \frac{-22 - 58}{6} = \frac{-80}{6} \approx -13.33 ]
Поскольку отрицательное значение не имеет смысла в контексте задачи, то первоначально швея предполагала шить 6 воротников в час.
Предположим, что швея собиралась шить x воротников в час. Тогда за 3 часа до срока она должна была сошить 120 воротников - 3x воротников (изначально запланированные) = 136 воротников (с учетом дополнительных 2 воротников в час).
Уравнение будет выглядеть следующим образом:
120 - 3x + 6 = 136
Решив это уравнение, мы получим:
3x = 120 + 6 - 136 3x = 126 x = 42
Итак, изначально швея планировала шить 42 воротника в час.
Предполагаемое количество воротников в час, которое швея наметила первоначально, равно 9 воротников в час.
