Сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию,равна 3,а сумма их квадратов равна 21.найти...

Давайте решим задачу о нахождении трех чисел, которые образуют геометрическую прогрессию, с учетом данных условий.

Пусть числа в геометрической прогрессии обозначим через ( a ), ( ar ), и ( ar^2 ), где ( a ) — первое число, а ( r ) — знаменатель прогрессии. Согласно условиям задачи, имеем две системы уравнений:

1. Сумма чисел равна 3: [ a + ar + ar^2 = 3 ] [ a(1 + r + r^2) = 3 ]

2. Сумма квадратов чисел равна 21: [ a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 21 ] [ a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 = 21 ] [ a^2(1 + r^2 + r^4) = 21 ]

Теперь, выразим ( a ) из первого уравнения: [ a = \frac{3}{1 + r + r^2} ]

Подставим это выражение для ( a ) во второе уравнение: [ \left(\frac{3}{1 + r + r^2}\right)^2 (1 + r^2 + r^4) = 21 ]

Упростим: [ \frac{9(1 + r^2 + r^4)}{(1 + r + r^2)^2} = 21 ]

Умножим обе части уравнения на ( (1 + r + r^2)^2 ) для избавления от дроби: [ 9(1 + r^2 + r^4) = 21(1 + r + r^2)^2 ]

Разделим обе части на 3: [ 3(1 + r^2 + r^4) = 7(1 + r + r^2)^2 ]

Раскроем скобки: [ 3 + 3r^2 + 3r^4 = 7(1 + 2r + r^2 + r^2 + 2r^3 + r^4) ] [ 3 + 3r^2 + 3r^4 = 7 + 14r + 7r^2 + 14r^3 + 7r^4 ]

Перенесем все на одну сторону и упростим: [ 3r^4 - 7r^4 + 3r^2 - 7r^2 + 3 - 7 - 14r - 14r^3 = 0 ] [ -4r^4 - 4r^2 - 4 - 14r - 14r^3 = 0 ]

Разделим на -1: [ 4r^4 + 14r^3 + 4r^2 + 14r + 4 = 0 ]

Это уравнение можно решать различными методами, например, через подбор корней или с помощью рационализации.

Предположим, что ( r = 1 ), тогда: [ 4(1)^4 + 14(1)^3 + 4(1)^2 + 14(1) + 4 = 40 \neq 0 ]

Рассмотрим ( r = -1 ): [ 4(-1)^4 + 14(-1)^3 + 4(-1)^2 + 14(-1) + 4 = 4 - 14 + 4 - 14 + 4 = -16 \neq 0 ]

Если попробовать ( r = 2 ), уравнение становится сложным. Для решения рационально воспользоваться методом проб и ошибок, либо более простыми числовыми методами.

В итоге, получается, что числа, удовлетворяющие условиям задачи, могут быть найдены через ( r = -2 ): Получаем геометрическую прогрессию с числами ( 1, -2, 4 ).

Таким образом, искомые числа: ( 1, -2, 4 ). Проверка:

• Сумма: ( 1 - 2 + 4 = 3 ).
• Сумма квадратов: ( 1^2 + (-2)^2 + 4^2 = 1 + 4 + 16 = 21 ).

Пусть наши числа обозначены как а, аr и аr^2, где r - знаменатель геометрической прогрессии.

Тогда из условия задачи у нас есть два уравнения: а + аr + аr^2 = 3 (1) а^2 + (аr)^2 + (аr^2)^2 = 21 (2)

Из уравнения (1) найдем значение а: а(1 + r + r^2) = 3 а(1 + r + r^2) = 3 а(1 + r + r^2) = 3 а = 3 / (1 + r + r^2)

Подставим значение а в уравнение (2): (3 / (1 + r + r^2))^2 + (3r / (1 + r + r^2))^2 + (3r^2 / (1 + r + r^2))^2 = 21 9 / (1 + r + r^2)^2 + 9r^2 / (1 + r + r^2)^2 + 9r^4 / (1 + r + r^2)^2 = 21 9(1 + r^2 + r^4) = 21(1 + r + r^2)^2 9 + 9r^2 + 9r^4 = 21 + 42r + 42r^2 + 21r^3 + 21r^2 + 21r^4 9 + 9r^2 + 9r^4 = 21 + 63r + 63r^2 + 21r^3 + 21r^4

Подставим значение r из уравнения (1) в это уравнение и найдем числа а, аr и аr^2.