Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см^2 а его периметр равен 18 см. Найдите стороны прямоугольника....

Для решения задачи обозначим стороны прямоугольника как (a) и (b). Из условия задачи мы имеем два уравнения:

1. Сумма квадратов сторон: (a^2 + b^2 = 45).
2. Периметр прямоугольника: (2(a + b) = 18).

Из второго уравнения можно выразить сумму сторон: [ a + b = \frac{18}{2} = 9. ]

Теперь у нас есть система двух уравнений: [ a^2 + b^2 = 45, ] [ a + b = 9. ]

Для решения данной системы уравнений можно использовать метод подстановки или же преобразовать систему следующим образом. Воспользуемся формулой для квадрата суммы: [ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. ] Подставляем известные значения: [ 9^2 = 45 + 2ab ] [ 81 = 45 + 2ab ] Отсюда выразим (2ab): [ 2ab = 81 - 45 = 36 ] [ ab = 18. ]

Теперь у нас есть система: [ a + b = 9, ] [ ab = 18. ]

Решим её как квадратное уравнение относительно одной из переменных. Предположим, что (a) и (b) - это корни квадратного уравнения: [ x^2 - (a+b)x + ab = 0 ] [ x^2 - 9x + 18 = 0. ]

Решим это квадратное уравнение: [ x^2 - 9x + 18 = 0 ] Разложим на множители или найдем корни через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 ] [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{9 \pm 3}{2} ] [ x_1 = 6, \quad x_2 = 3. ]

Итак, стороны прямоугольника равны 6 см и 3 см.

Пусть стороны прямоугольника равны а и b (a - длина, b - ширина). Тогда у нас есть два уравнения:

1) a^2 + b^2 = 45 2) 2a + 2b = 18

Из второго уравнения выразим одну из переменных, например, a:

a = 9 - b

Подставим это выражение в первое уравнение:

(9 - b)^2 + b^2 = 45 81 - 18b + b^2 + b^2 = 45 2b^2 - 18b + 36 = 0 b^2 - 9b + 18 = 0

Решим это квадратное уравнение:

D = (-9)^2 - 4118 = 81 - 72 = 9

b1,2 = (9 ± √9) / 2 = (9 ± 3) / 2

b1 = 6; b2 = 3

Таким образом, получаем два варианта ширины прямоугольника: b = 6 или b = 3. Следовательно, длина будет соответственно a = 9 - 6 = 3 или a = 9 - 3 = 6.

Итак, стороны прямоугольника могут быть либо 6 см и 3 см, либо 3 см и 6 см.