Составте квадратное уравнение, корни которого ровняются -1 и 3.

Конечно, давайте разберем, как составить квадратное уравнение, корни которого равны -1 и 3.

В общем случае, если известны корни ( x_1 ) и ( x_2 ) квадратного уравнения, то его можно записать в виде: [ (x - x_1)(x - x_2) = 0. ]

Для корней ( x_1 = -1 ) и ( x_2 = 3 ) уравнение примет вид: [ (x - (-1))(x - 3) = 0 ] или, что то же самое: [ (x + 1)(x - 3) = 0. ]

Теперь раскроем скобки и упростим выражение: [ (x + 1)(x - 3) = x(x - 3) + 1(x - 3). ]

Выполним умножение: [ x(x - 3) + 1(x - 3) = x^2 - 3x + x - 3. ]

Соберем подобные члены: [ x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3. ]

Таким образом, квадратное уравнение с корнями -1 и 3 имеет вид: [ x^2 - 2x - 3 = 0. ]

Чтобы проверить правильность полученного уравнения, можно решить его и убедиться, что корни действительно равны -1 и 3.

Применим стандартную формулу для нахождения корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ): [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. ]

Для уравнения ( x^2 - 2x - 3 = 0 ):

• ( a = 1 ),
• ( b = -2 ),
• ( c = -3 ).

Подставим эти значения в формулу: [ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}. ]

Получаем два значения: [ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, ] [ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1. ]

Как видим, корни действительно равны -1 и 3, что подтверждает правильность составленного уравнения: [ x^2 - 2x - 3 = 0. ]

x^2 - 2x - 3 = 0

Для составления квадратного уравнения с данными корнями -1 и 3, мы можем использовать следующий подход:

1. Запишем общую формулу квадратного уравнения: (ax^{2} + bx + c = 0).
2. Подставим корни -1 и 3 в уравнение: ((x + 1)(x - 3) = 0).
3. Упростим уравнение, умножив скобки: (x^{2} - 3x + x - 3 = x^{2} - 2x - 3).
4. Таким образом, квадратное уравнение, корнями которого являются -1 и 3, будет: (x^{2} - 2x - 3 = 0).