Составьте квадратное уравнение, корни которого равны -2 и -1/2

Квадратное уравнение с корнями -2 и -1/2 можно составить, используя формулу:

( (x - x_1)(x - x_2) = 0 )

где ( x_1 = -2 ) и ( x_2 = -\frac{1}{2} ). Подставим значения:

( (x + 2)\left(x + \frac{1}{2}\right) = 0 )

Теперь раскроем скобки:

( x^2 + \frac{1}{2}x + 2x + 1 = 0 )

Соберем подобные:

( x^2 + \frac{5}{2}x + 1 = 0 )

Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

( 2x^2 + 5x + 2 = 0 )

Таким образом, искомое квадратное уравнение:

( 2x^2 + 5x + 2 = 0 )

Чтобы составить квадратное уравнение с заданными корнями, можно воспользоваться свойством корней квадратного уравнения. Если уравнение имеет корни (x_1) и (x_2), то его можно записать в виде:

[ (x - x_1)(x - x_2) = 0 ]

В нашем случае корни равны (x_1 = -2) и (x_2 = -\frac{1}{2}). Подставим эти значения в формулу:

[ (x - (-2))(x - (-\frac{1}{2})) = 0 ]

Это упрощается до:

[ (x + 2)(x + \frac{1}{2}) = 0 ]

Теперь раскроем скобки. Для этого сначала умножим два множителя:

[ (x + 2)(x + \frac{1}{2}) = x^2 + \frac{1}{2}x + 2x + 1 = x^2 + \frac{5}{2}x + 1 ]

Теперь у нас есть квадратное уравнение в виде:

[ x^2 + \frac{5}{2}x + 1 = 0 ]

Однако можно также привести уравнение к стандартному виду с целыми коэффициентами. Для этого умножим всё уравнение на 2 (чтобы избавиться от дробей):

[ 2(x^2 + \frac{5}{2}x + 1) = 0 \Rightarrow 2x^2 + 5x + 2 = 0 ]

Таким образом, квадратное уравнение, корни которого равны -2 и -(\frac{1}{2}), будет:

[ 2x^2 + 5x + 2 = 0 ]

Теперь, чтобы убедиться, что это действительно правильное уравнение, можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где (a = 2), (b = 5), (c = 2). Подставим эти значения:

1. Находим дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 ]

1. Находим корни:

[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4} ]

Таким образом:

[ x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} ] [ x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2 ]

Мы получили корни (-2) и (-\frac{1}{2}), что подтверждает правильность составленного уравнения.

Итак, ответ: квадратное уравнение, корни которого равны -2 и -(\frac{1}{2}), имеет вид:

[ 2x^2 + 5x + 2 = 0 ]

Для составления квадратного уравнения с заданными корнями (-2 и -1/2) нужно воспользоваться теоремой Виета. Согласно этой теореме, если (x_1) и (x_2) — корни квадратного уравнения, то его общий вид может быть записан как:

[ x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0 ]

Где:

• Сумма корней (x_1 + x_2) является коэффициентом при (x) с противоположным знаком.
• Произведение корней (x_1 x_2) является свободным членом уравнения.

Шаг 1. Найдем сумму корней:

[ x_1 = -2, \quad x_2 = -\frac{1}{2} ] [ x_1 + x_2 = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}. ]

Шаг 2. Найдем произведение корней:

[ x_1 \cdot x_2 = -2 \cdot -\frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1. ]

Шаг 3. Подставим значения в общий вид уравнения:

[ x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0 ] [ x^2 - \left(-\frac{5}{2}\right)x + 1 = 0 ] [ x^2 + \frac{5}{2}x + 1 = 0. ]

Шаг 4. Преобразуем уравнение, чтобы избавиться от дробей:

Умножим всё уравнение на 2 (наименьший общий знаменатель): [ 2x^2 + 5x + 2 = 0. ]

Итог:

Квадратное уравнение, корни которого равны (-2) и (-1/2), имеет вид: [ 2x^2 + 5x + 2 = 0. ]