SOS с РИСУНКОМ найдите наименьшее значение функции y=11tg x-11x+16 на отрезеке[0;П/4]

Для нахождения наименьшего значения функции y=11tg x-11x+16 на отрезке [0;П/4] необходимо найти точку минимума функции. Для этого найдем производную функции y'=11(1+tg^2 x)-11. Приравняем производную к нулю и найдем x. Подставим x в исходную функцию, чтобы найти значение y.

(решение задачи иллюстрируется с помощью рисунка)

Для нахождения наименьшего значения функции y=11tg x-11x+16 на отрезке [0;П/4] необходимо найти точку минимума этой функции на данном отрезке. Для этого можно воспользоваться производной функции.

y'=11(sec^2(x))-11

Теперь найдем точку, где производная равна нулю:

11(sec^2(x))-11=0 sec^2(x)=1 sec(x)=1 x=0

Таким образом, точка x=0 является критической точкой функции на отрезке [0;П/4]. Теперь найдем значение функции в этой точке:

y(0)=11tg(0)-110+16 y(0)=0+0+16 y(0)=16

Таким образом, наименьшее значение функции y=11tg x-11x+16 на отрезке [0;П/4] равно 16.

(Рисунок не предоставлен)

Чтобы найти наименьшее значение функции ( y = 11\tan(x) - 11x + 16 ) на отрезке ([0; \frac{\pi}{4}]), необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции

Для нахождения критических точек функции сначала найдем её производную. Производная функции ( y ) относительно ( x ) будет:

[ y' = 11 \sec^2(x) - 11 ]

где (\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}).

Шаг 2: Найти критические точки

Критические точки находятся из условия ( y' = 0 ):

[ 11 \sec^2(x) - 11 = 0 ]

[ \sec^2(x) = 1 ]

[ \cos^2(x) = 1 ]

[ \cos(x) = \pm 1 ]

На отрезке ([0; \frac{\pi}{4}]), (\cos(x) = 1) только при ( x = 0 ).

Шаг 3: Проверить границы отрезка

Посчитаем значения функции в концах отрезка и в найденных критических точках:

1. ( x = 0 ):

[ y(0) = 11\tan(0) - 11 \cdot 0 + 16 = 16 ]

1. ( x = \frac{\pi}{4} ):

[ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 11\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - 11 \cdot \frac{\pi}{4} + 16 = 11 - \frac{11\pi}{4} + 16 ]

[ = 27 - \frac{11\pi}{4} ]

Шаг 4: Сравнить значения

Теперь сравним значения функции в этих точках:

• ( y(0) = 16 )
• ( y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 27 - \frac{11\pi}{4} )

Чтобы определить, какое из этих значений меньше, оценим численно значение ( \frac{11\pi}{4} ):

[ \pi \approx 3.14159 \quad \Rightarrow \quad \frac{11\pi}{4} \approx \frac{11 \times 3.14159}{4} \approx 8.63938 ]

Следовательно,

[ 27 - \frac{11\pi}{4} \approx 27 - 8.63938 = 18.36062 ]

Из этого видно, что наименьшее значение функции на отрезке достигается при ( x = 0 ) и равно 16.

Рисунок

Для визуализации, вы можете построить график функции ( y = 11\tan(x) - 11x + 16 ) на отрезке ([0; \frac{\pi}{4}]). На графике видно, что функция возрастает, начиная с минимального значения 16 в точке ( x = 0 ).

Таким образом, наименьшее значение функции на заданном отрезке равно 16.