Сократите дробь х3-3х2-4х+12/(х-3)(х+2)

Чтобы сократить дробь (\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{(x-3)(x+2)}), нам нужно сначала попытаться разложить числитель на множители.

Числитель дроби: (x^3 - 3x^2 - 4x + 12).

Шаг 1: Найдите возможные рациональные корни

Мы можем использовать теорему о рациональных корнях, которая гласит, что все возможные рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами имеют вид (\frac{p}{q}), где (p) — делитель свободного члена (в данном случае 12), а (q) — делитель старшего коэффициента (в данном случае 1). Делители 12: (\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12).

Шаг 2: Подбор корней

Попробуем подставить эти значения в многочлен и найти нули:

1. (x = 1: \quad 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 12 = 1 - 3 - 4 + 12 = 6) (не корень)
2. (x = -1: \quad (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot (-1) + 12 = -1 - 3 + 4 + 12 = 12) (не корень)
3. (x = 2: \quad 2^3 - 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0) (корень!)

Мы нашли, что (x = 2) является корнем. Это означает, что (x - 2) является делителем числителя.

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь мы можем разделить (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) на (x - 2) с помощью деления многочленов.

1. Делим (x^3) на (x), получаем (x^2).
2. Умножаем (x^2) на (x - 2) и вычитаем из исходного многочлена: [ x^3 - 3x^2 - 4x + 12 - (x^3 - 2x^2) = -x^2 - 4x + 12 ]
3. Делим (-x^2) на (x), получаем (-x).
4. Умножаем (-x) на (x - 2) и вычитаем: [ -x^2 - 4x + 12 - (-x^2 + 2x) = -6x + 12 ]
5. Делим (-6x) на (x), получаем (-6).
6. Умножаем (-6) на (x - 2) и вычитаем: [ -6x + 12 - (-6x + 12) = 0 ]

Итак, (x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 2)(x^2 - x - 6)).

Шаг 4: Разложение (x^2 - x - 6)

Теперь разложим (x^2 - x - 6) на множители: [ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) ]

Шаг 5: Сокращение дроби

Теперь вся дробь выглядит так: [ \frac{(x - 2)(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} ]

Мы можем сократить ((x - 3)) и ((x + 2)) в числителе и знаменателе: [ x - 2 ]

Итак, сокращенная форма дроби: (x - 2).

Для сокращения данной дроби сначала разложим числитель на множители: x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 3)(x^2 + 3x - 4). Теперь дробь примет вид ((x - 3)(x^2 + 3x - 4))/((x - 3)(x + 2)). Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе, получаем (x^2 + 3x - 4)/(x + 2). Таким образом, данная дробь сокращена до (x^2 + 3x - 4)/(x + 2).

Сокращение дроби: (x^2 - 4)/(x + 2)