Сократите дробь числитель 2x^2 +9x +7 знаменатель x^2 -1 Пожалуйста

Для того чтобы сократить дробь (\frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1}), необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и посмотреть, можно ли сократить какие-то общие множители.

1. Разложение знаменателя:

   Знаменатель (x^2 - 1) — это разность квадратов, которая раскладывается по формуле:

   [ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) ]

2. Разложение числителя:

   Числитель (2x^2 + 9x + 7) можно попытаться разложить на множители методом подбора или через дискриминант, как для квадратного уравнения. Для этого ищем корни уравнения:

   [ 2x^2 + 9x + 7 = 0 ]

   Вычислим дискриминант:

   [ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25 ]

   Корни уравнения находятся по формуле:

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

   Подставим значения:

   [ x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-9 \pm 5}{4} ]

   Таким образом, получаем:

   [ x_1 = \frac{-9 + 5}{4} = -1 ]

   [ x_2 = \frac{-9 - 5}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2} ]

   Используя найденные корни, разложим числитель на множители:

   [ 2x^2 + 9x + 7 = 2(x + 1)(x + \frac{7}{2}) ]

   Чтобы избавиться от дроби в разложении, умножим второй множитель на 2:

   [ = (2x + 2)(x + \frac{7}{2}) = (2x + 2)(x + \frac{7}{2}) ]

   Однако для удобства представим в виде:

   [ 2x^2 + 9x + 7 = (2x + 1)(x + 7) ]

3. Сокращение дроби:

   Теперь дробь выглядит так:

   [ \frac{(2x + 1)(x + 7)}{(x - 1)(x + 1)} ]

   В этом случае нет общих множителей в числителе и знаменателе, которые могли бы быть сокращены.

Таким образом, дробь (\frac{2x^2 + 9x + 7}{x^2 - 1}) в данном случае не может быть сокращена дальше.

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие множители.

Числитель: 2x^2 + 9x + 7 = (2x + 1)(x + 7) Знаменатель: x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)

Теперь дробь можно записать в виде:

(2x + 1)(x + 7) / ((x + 1)(x - 1))

Итак, дробь сокращена до (2x + 1)(x + 7) / ((x + 1)(x - 1)).

2x + 7 / (x + 1)(x - 1)