Сократить дробь 5-sqrt(5)/sqrt(10)-5sqrt(2)

Чтобы сократить дробь (\frac{5 - \sqrt{5}}{\sqrt{10} - 5\sqrt{2}}), нужно выполнить несколько шагов:

1. Рационализация знаменателя: Чтобы избавиться от корней в знаменателе, можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя. Сопряженное выражение для (\sqrt{10} - 5\sqrt{2}) — это (\sqrt{10} + 5\sqrt{2}).

   Умножим числитель и знаменатель:

   [ \frac{(5 - \sqrt{5})(\sqrt{10} + 5\sqrt{2})}{(\sqrt{10} - 5\sqrt{2})(\sqrt{10} + 5\sqrt{2})} ]

2. Вычисление знаменателя: Знаменатель становится разностью квадратов:

   [ (\sqrt{10})^2 - (5\sqrt{2})^2 = 10 - 25 \times 2 = 10 - 50 = -40 ]

3. Вычисление числителя: Раскроем скобки в числителе:

   [ (5 - \sqrt{5})(\sqrt{10} + 5\sqrt{2}) = 5\sqrt{10} + 25\sqrt{2} - \sqrt{5}\sqrt{10} - 5\sqrt{5}\sqrt{2} ]

   Упростим:

   [ 5\sqrt{10} + 25\sqrt{2} - \sqrt{50} - 5\sqrt{10} ]

   Заметим, что (\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}), поэтому:

   [ 5\sqrt{10} + 25\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - 5\sqrt{10} = 20\sqrt{2} ]

4. Сокращение дроби: Полученная дробь:

   [ \frac{20\sqrt{2}}{-40} = -\frac{1}{2}\sqrt{2} ]

Таким образом, сокращенная форма данной дроби — это (-\frac{1}{2}\sqrt{2}).

Для сокращения данной дроби, нужно привести подобные дроби к общему знаменателю. Сначала преобразуем выражение в виде:

(5 - sqrt(5))/(sqrt(10) - 5sqrt(2))

Затем умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя:

(5 - sqrt(5))/(sqrt(10) - 5sqrt(2)) * (sqrt(10) + 5sqrt(2))/(sqrt(10) + 5sqrt(2))

После умножения получим:

(5sqrt(10) + 25 - 5sqrt(5) - 510)/(10 - 50) = (25 - 5sqrt(5) + 5sqrt(10) - 50)/(10 - 50)

Сокращаем:

(25 - 50)/(10 - 50) = -25/-40 = 5/8

Итак, результат сокращенной дроби равен 5/8.