Сколько четырехзначных чисел можно написать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5? В ответе укажите сумму...

Решение:

Для ответа на вопрос разберем задачу по частям.

1. Сколько можно составить четырехзначных чисел?

Четырехзначное число имеет четыре позиции: ( ABCD ), где ( A ), ( B ), ( C ), ( D ) обозначают цифры числа.

Условие задачи предполагает, что мы используем только цифры ( 0, 1, 2, 3, 4, 5 ). Однако, цифра ( A ), стоящая на первой позиции, не может быть ( 0 ), так как число должно быть четырехзначным.

• Для первой позиции (( A )): цифры ( 1, 2, 3, 4, 5 ). Всего 5 вариантов.
• Для остальных позиций (( B, C, D )): цифры ( 0, 1, 2, 3, 4, 5 ). Всего 6 вариантов для каждой позиции.

Общее количество четырехзначных чисел: [ 5 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 5 \cdot 216 = 1080. ]

Итак, можно составить ( 1080 ) четырехзначных чисел.

2. Найдем сумму всех этих чисел.

Чтобы найти сумму всех возможных чисел, разложим их по разрядам.

Обозначим четырехзначное число как ( ABCD ), где:

• ( A ) — цифра тысяч,
• ( B ) — цифра сотен,
• ( C ) — цифра десятков,
• ( D ) — цифра единиц.

Каждую из цифр ( A, B, C, D ) мы будем рассматривать отдельно.

Цифра на позиции ( A ) (тысячи):

• ( A ) принимает значения ( 1, 2, 3, 4, 5 ) (помним, что ( A \neq 0 )).
• Каждое значение ( A ) участвует в ( 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216 ) числах (поскольку ( B, C, D ) могут принимать любые из 6 значений).

Сумма всех возможных значений ( A ): [ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. ]

Суммарный вклад разряда тысяч: [ 15 \cdot 216 \cdot 1000 = 3240000. ]

Цифра на позиции ( B ) (сотни):

• ( B ) принимает значения ( 0, 1, 2, 3, 4, 5 ).
• Каждое значение ( B ) участвует в ( 5 \cdot 6 \cdot 6 = 180 ) числах (поскольку ( A ) имеет 5 вариантов, а ( C, D ) — по 6 вариантов).

Сумма всех возможных значений ( B ): [ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. ]

Суммарный вклад разряда сотен: [ 15 \cdot 180 \cdot 100 = 270000. ]

Цифра на позиции ( C ) (десятки):

• ( C ) также принимает значения ( 0, 1, 2, 3, 4, 5 ).
• Каждое значение ( C ) участвует в ( 5 \cdot 6 \cdot 6 = 180 ) числах (аналогично разряду сотен).

Сумма всех возможных значений ( C ): [ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. ]

Суммарный вклад разряда десятков: [ 15 \cdot 180 \cdot 10 = 27000. ]

Цифра на позиции ( D ) (единицы):

• ( D ) принимает значения ( 0, 1, 2, 3, 4, 5 ).
• Каждое значение ( D ) участвует в ( 5 \cdot 6 \cdot 6 = 180 ) числах (аналогично разрядам сотен и десятков).

Сумма всех возможных значений ( D ): [ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. ]

Суммарный вклад разряда единиц: [ 15 \cdot 180 \cdot 1 = 2700. ]

Итоговая сумма всех чисел:

Сложим вклады всех разрядов: [ 3240000 + 270000 + 27000 + 2700 = 3539700. ]

Ответ:

1. Количество четырехзначных чисел: ( 1080 ).
2. Сумма всех чисел: ( 3539700 ).

Для того чтобы найти количество четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4 и 5, нужно учитывать, что первое число не может быть нулем.

Шаг 1: Определение количества четырехзначных чисел

1. Первый разряд (тысячи): Этот разряд может быть заполнен любыми из цифр 1, 2, 3, 4 или 5. То есть, у нас есть 5 вариантов.

2. Второй, третий и четвертый разряды (сотни, десятки, единицы): Эти разряды могут быть заполнены любыми из шести цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5). То есть, у нас есть 6 вариантов для каждого из этих разрядов.

Теперь мы можем посчитать общее количество четырехзначных чисел:

[ N = 5 \times 6 \times 6 \times 6 = 5 \times 6^3 = 5 \times 216 = 1080 ]

Таким образом, существует 1080 четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4 и 5.

Шаг 2: Сумма всех этих чисел

Теперь найдем сумму всех четырехзначных чисел, которые мы можем составить. Для этого разложим каждый разряд по отдельности.

1. Сумма цифр в первом разряде (тысячи):

   • Возможные цифры: 1, 2, 3, 4, 5.
   • Каждая из этих цифр будет стоять на первом месте в (6^3 = 216) числах (так как для второго, третьего и четвертого разрядов есть 6 вариантов).
   • Сумма цифр: (1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15).
   • Вклад в сумму от первого разряда: (15 \times 216 \times 1000 = 3240000).

2. Сумма цифр во втором разряде (сотни):

   • Возможные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
   • Каждая из этих цифр будет стоять на втором месте в (5 \times 6^2 = 5 \times 36 = 180) числах.
   • Сумма цифр: (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15).
   • Вклад в сумму от второго разряда: (15 \times 180 \times 100 = 270000).

3. Сумма цифр в третьем разряде (десятки):

   • Аналогично второму разряду, вклад: (15 \times 180 \times 10 = 27000).

4. Сумма цифр в четвертом разряде (единицы):

   • Аналогично второму разряду, вклад: (15 \times 180 \times 1 = 2700).

Теперь суммируем все вклады:

[ S = 3240000 + 270000 + 27000 + 2700 = 3529700 ]

Ответ

Таким образом, количество четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4 и 5, равно 1080, а сумма всех этих чисел составляет 3529700.