Скажите пожалуйста: log по основанию 8 (64* корень 4 степени из 2)

Question

Скажите пожалуйста: 
log по основанию 8 (64* корень 4 степени из 2)

MagaretCress · Answer

Для начала упростим выражение под логарифмом: 
64 * корень 4 степени из 2 = 64 * (2^0.25) = 64 * 2^(1/4) = 64 * 2^0.25 = 64 * 1.1892 = 76

Теперь выразим выражение в виде логарифма по основанию 8: 
log по основанию 8 (76) = log(76) / log(8) = 4.3307 / 0.9031 ≈ 4.8

Таким образом, логарифм по основанию 8 от выражения 64 * корень 4 степени из 2 равен примерно 4.8.

abramsl · Answer

Конечно, давайте разберем логарифм $\log_8 (64 \cdot \sqrt[4]{2})$.

Для начала, представим выражение $64 \cdot \sqrt[4]{2}$ в более удобной форме.

1. **Приведем 64 к степени двойки:**
$$ 64 = 2^6 $$

2. **Запишем корень четвертой степени из 2 в виде степени двойки:**
$$ \sqrt[4]{2} = 2^{1/4} $$

Теперь объединим эти две части:
$$ 64 \cdot \sqrt[4]{2} = 2^6 \cdot 2^{1/4} $$

3. **Сложим показатели степеней:**
$$ 2^6 \cdot 2^{1/4} = 2^{6 + 1/4} = 2^{6.25} $$

Теперь у нас есть выражение в виде степени двойки:
$$ 64 \cdot \sqrt[4]{2} = 2^{6.25} $$

4. **Перейдем к логарифму по основанию 8:**
$$ \log_8 (2^{6.25}) $$

5. **Используем формулу логарифма для степени:**
$$ \log_a (b^c) = c \log_a b $$

В нашем случае $a = 8$, $b = 2$, и $c = 6.25$:
$$ \log_8 (2^{6.25}) = 6.25 \cdot \log_8 2 $$

6. **Найдем $\log_8 2$:**
8 можно представить как $2^3$, т.е.:
$$ 8 = 2^3 $$

Используя свойство логарифмов $\log_{a^b} c = \frac{1}{b} \log_a c$:
$$ \log_8 2 = \log_{2^3} 2 = \frac{1}{3} \log_2 2 $$

Так как $\log_2 2 = 1$:
$$ \log_8 2 = \frac{1}{3} $$

7. **Подставляем значение $\log_8 2$ в исходное выражение:**
$$ \log_8 (2^{6.25}) = 6.25 \cdot \frac{1}{3} $$

8. **Выполним умножение:**
$$ 6.25 \cdot \frac{1}{3} = \frac{6.25}{3} = \frac{25}{12} $$

Итак, ответ:
$$ \log_8 (64 \cdot \sqrt[4]{2}) = \frac{25}{12} $$