Sin^6a+cos^6a+3-3cos^2a/1+tg^2a решите,пожалуйста

Для решения данного уравнения сначала заметим, что (1 + \tan^2 a = \sec^2 a). Теперь выразим (\cos^2 a) через (\sin^2 a) с помощью тождества (\sin^2 a + \cos^2 a = 1):

[ \begin{aligned} \sin^6 a + \cos^6 a + 3 - \frac{3\cos^2 a}{1 + \tan^2 a} &= \sin^6 a + \cos^6 a + 3 - \frac{3\cos^2 a}{\sec^2 a} \ &= \sin^6 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a \cos^2 a \ &= \sin^6 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a (1 - \sin^2 a) \ &= \sin^6 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a + 3\sin^2 a \cos^2 a. \end{aligned} ]

Теперь выразим (\sin^6 a) через (\sin^2 a):

[ \begin{aligned} \sin^6 a &= (\sin^2 a)^3 = (\sin^2 a)(\sin^2 a)^2 \ &= \sin^2 a (1 - \cos^2 a) \ &= \sin^2 a - \sin^2 a \cos^2 a. \end{aligned} ]

Теперь подставим обратно в исходное уравнение и упростим:

[ \begin{aligned} &(\sin^2 a - \sin^2 a \cos^2 a) + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a + 3\sin^2 a \cos^2 a \ &= \sin^2 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a + 3\sin^2 a \cos^2 a - \sin^2 a \cos^2 a \ &= \sin^2 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a + 3\sin^2 a \cos^2 a - \sin^2 a \cos^2 a. \end{aligned} ]

Дальше можно пробовать дальнейшее упрощение или использовать другие методы решения.

Для решения выражения (\frac{\sin^6 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a}{1 + \tan^2 a}), давайте разберём его части поэтапно.

1. Номерная часть: (\sin^6 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a)

   Перепишем (\sin^6 a + \cos^6 a) с использованием тригонометрических идентичностей. Воспользуемся формулой суммы кубов: [ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) ] где ( x = \sin^2 a ) и ( y = \cos^2 a ).

   Таким образом, [ (\sin^2 a)^3 + (\cos^2 a)^3 = (\sin^2 a + \cos^2 a)((\sin^2 a)^2 - \sin^2 a \cos^2 a + (\cos^2 a)^2) ]

   Зная, что (\sin^2 a + \cos^2 a = 1), упростим выражение: [ \sin^6 a + \cos^6 a = 1 \cdot ((\sin^2 a)^2 - \sin^2 a \cos^2 a + (\cos^2 a)^2) ]

   Преобразуем внутреннюю часть: [ (\sin^2 a)^2 - \sin^2 a \cos^2 a + (\cos^2 a)^2 = \sin^4 a + \cos^4 a - \sin^2 a \cos^2 a ]

   Теперь вернемся к исходному выражению: [ \sin^6 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a = (\sin^4 a + \cos^4 a - \sin^2 a \cos^2 a) + 3 - 3\cos^2 a ]

2. Знаменатель: (1 + \tan^2 a)

   Используем тригонометрическую идентичность: [ 1 + \tan^2 a = \sec^2 a ]

   Таким образом, знаменатель равен (\sec^2 a).

Теперь соберем все вместе: [ \frac{\sin^6 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a}{\sec^2 a} ]

Учитывая, что (\sec a = \frac{1}{\cos a}), мы можем переписать (\sec^2 a) как (\frac{1}{\cos^2 a}): [ \frac{\sin^6 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a}{\sec^2 a} = (\sin^6 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a) \cdot \cos^2 a ]

Теперь рассмотрим упрощение числителя: [ \sin^6 a + \cos^6 a + 3 - 3\cos^2 a = (\sin^2 a)^3 + (\cos^2 a)^3 + 3 - 3 \cos^2 a ]

Используя идентичность (\sin^2 a + \cos^2 a = 1), мы видим, что это выражение упрощается к: [ 1 - 3\sin^2 a \cos^2 a + 3 - 3\cos^2 a ]

Таким образом, конечное выражение становится достаточно сложным, если учитывать все возможные упрощения, содержащие тригонометрические функции. Однако, при определённых значениях угла a результат может быть упрощён дальше.