Sin4a+2sin2acos2a+cos4a

Давайте упростим выражение ( \sin 4a + 2\sin 2a\cos 2a + \cos 4a ) с помощью тригонометрических формул.

Шаг 1. Применим формулы двойных углов

Для упрощения воспользуемся следующими тригонометрическими формулами:

1. ( \sin 4a = 2\sin 2a\cos 2a ),
2. ( \cos 4a = 2\cos^2 2a - 1 ).

Теперь подставим эти выражения в исходное выражение:

[ \sin 4a + 2\sin 2a\cos 2a + \cos 4a = \big( 2\sin 2a\cos 2a \big) + 2\sin 2a\cos 2a + \big( 2\cos^2 2a - 1 \big). ]

Шаг 2. Объединим одинаковые слагаемые

Сгруппируем и упростим:

[ \sin 4a + 2\sin 2a\cos 2a + \cos 4a = 2\sin 2a\cos 2a + 2\sin 2a\cos 2a + 2\cos^2 2a - 1. ]

Сложим одинаковые слагаемые:

[ \sin 4a + 2\sin 2a\cos 2a + \cos 4a = 4\sin 2a\cos 2a + 2\cos^2 2a - 1. ]

Шаг 3. Преобразуем через дополнительные формулы

Обратим внимание, что ( 4\sin 2a\cos 2a ) можно заменить на ( 2\sin 4a ) (обратная формула для угла ( 4a )):

[ \sin 4a + 2\sin 2a\cos 2a + \cos 4a = 2\sin 4a + 2\cos^2 2a - 1. ]

Теперь упростим выражение ( 2\cos^2 2a - 1 ), применив основное тригонометрическое тождество ( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x ):

[ 2\cos^2 2a - 1 = 2(1 - \sin^2 2a) - 1 = 2 - 2\sin^2 2a - 1 = 1 - 2\sin^2 2a. ]

Подставим это обратно в выражение:

[ \sin 4a + 2\sin 2a\cos 2a + \cos 4a = 2\sin 4a + (1 - 2\sin^2 2a). ]

Шаг 4. Итоговое выражение

Объединим все вместе. Итоговый результат:

[ \sin 4a + 2\sin 2a\cos 2a + \cos 4a = 2\sin 4a + 1 - 2\sin^2 2a. ]

Это окончательное упрощение выражения.

Дополнительно

Если есть конкретное значение угла ( a ), можно подставить его и вычислить значение выражения численно.

Чтобы упростить выражение ( \sin 4a + 2\sin 2a \cos 2a + \cos 4a ), начнем с использования известных тригонометрических тождеств.

1. Упрощение ( \sin 4a ) и ( \cos 4a ): Используем формулы двойного угла: [ \sin 4a = 2 \sin 2a \cos 2a ] [ \cos 4a = 2 \cos^2 2a - 1 ]

2. Подставим в выражение: Теперь подставим ( \sin 4a ) и ( \cos 4a ) в исходное выражение: [ \sin 4a + 2\sin 2a \cos 2a + \cos 4a = (2 \sin 2a \cos 2a) + 2 \sin 2a \cos 2a + (2 \cos^2 2a - 1) ]

3. Сложим подобные члены: Объединим все члены, содержащие ( 2 \sin 2a \cos 2a ): [ 2 \sin 2a \cos 2a + 2 \sin 2a \cos 2a + 2 \cos^2 2a - 1 = 4 \sin 2a \cos 2a + 2 \cos^2 2a - 1 ]

4. Используем формулу для ( \sin 2a ): Заменим ( 4 \sin 2a \cos 2a ) на ( 2 \sin 4a ): [ 2 \sin 4a + 2 \cos^2 2a - 1 ]

5. Теперь упростим ( 2 \cos^2 2a ): Мы знаем, что ( \cos^2 2a = \frac{1 + \cos 4a}{2} ), следовательно: [ 2 \cos^2 2a = 1 + \cos 4a ]

6. Подставим это в выражение: Теперь подставим это обратно в уравнение: [ 2 \sin 4a + (1 + \cos 4a) - 1 = 2 \sin 4a + \cos 4a ]

7. Полученное выражение: Таким образом, мы приходим к простому выражению: [ \sin 4a + 2\sin 2a \cos 2a + \cos 4a = 2 \sin 4a + \cos 4a ]

Теперь у нас есть упрощенное выражение, которое можно использовать для дальнейших расчетов или анализа. Если у вас есть конкретные значения для ( a ), вы можете подставить их для получения численного результата.

Выражение ( \sin 4a + 2\sin^2 a \cos 2a + \cos 4a ) можно преобразовать.

Сначала заметим, что ( \sin 4a = 2\sin 2a \cos 2a ) и ( \cos 4a = 2\cos^2 2a - 1 ). Подставим эти выражения:

[ \sin 4a + 2\sin^2 a \cos 2a + \cos 4a = 2\sin 2a \cos 2a + 2\sin^2 a \cos 2a + (2\cos^2 2a - 1) ]

Однако, для более точного упрощения можно воспользоваться тригонометрическими тождества. В результате, конечный ответ для данного выражения:

[ \sin 4a + 2\sin^2 a \cos 2a + \cos 4a = 1 + \sin^2 2a ]

Таким образом, упрощенное выражение равно ( 1 + \sin^2 2a ).