Sin2x/cos(p/2+x)=корень из 3 на промежутке [-5p/2; -p]

Для начала, рассмотрим выражение sin(2x) / cos(p/2 + x). Мы можем переписать sin(2x) в виде 2sin(x)cos(x) по формуле двойного угла, а также разложить cos(p/2 + x) в виде cos(p/2)cos(x) - sin(p/2)sin(x) по формуле суммы углов.

Подставим это в выражение: (2sin(x)cos(x)) / (cos(p/2)cos(x) - sin(p/2)sin(x)). Далее упростим числитель и знаменатель, учитывая, что cos(p/2) = 0, а sin(p/2) = 1.

Получится: 2sin(x) / sin(x) = 2.

Теперь, чтобы найти корень из 3 на промежутке [-5π/2; -π], нам нужно учесть, что sin(x) принимает значения от -1 до 1 на данном промежутке.

Таким образом, sin(x) = sqrt(3) на указанном промежутке - это невозможно, так как значение sin(x) не может быть больше 1.

Следовательно, уравнение sin(2x) / cos(p/2 + x) = sqrt(3) на промежутке [-5π/2; -π] не имеет решений.

Для начала преобразуем исходное выражение (\frac{\sin 2x}{\cos(\frac{\pi}{2} + x)}). Используя формулу сдвига для косинуса, (\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x). Таким образом, выражение принимает вид:

[ \frac{\sin 2x}{-\sin x} ]

Упростим его, используя формулу двойного угла (\sin 2x = 2 \sin x \cos x):

[ \frac{2 \sin x \cos x}{-\sin x} ]

При (\sin x \neq 0) (что исключает точки, где (x = k\pi), (k) — целое число), сократим (\sin x):

[ -2\cos x ]

Теперь решим уравнение:

[ -2\cos x = \sqrt{3} ]

Откуда:

[ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

Значения (\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}) достигаются при (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k) и (x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k), где (k) — целое число. Теперь найдём решения уравнения на заданном промежутке ([-5\pi/2; -\pi]).

Рассмотрим два случая:

1. (x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)
2. (x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)

Подберем (k) так, чтобы (x) лежало в интервале ([-5\pi/2; -\pi]).

Для первого случая:

• При (k = -1), (x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}). Это значение лежит в интервале ([-5\pi/2; -\pi] \equiv [-\frac{5\pi}{2}; -\pi] = [-\frac{5\pi}{2}; -\frac{2\pi}{2}]).

Для второго случая:

• При (k = -1), (x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}). Это значение также лежит в интервале ([-5\pi/2; -\pi]).

Итак, решениями уравнения (\frac{\sin 2x}{\cos(\frac{\pi}{2} + x)} = \sqrt{3}) на интервале ([-5\pi/2; -\pi]) являются (x = -\frac{7\pi}{6}) и (x = -\frac{5\pi}{6}).