Sin(180+a)sin(270-a):cos(90+a) * ctg(270+a) =

Рассмотрим выражение:

[ \frac{\sin(180^\circ + a) \cdot \sin(270^\circ - a)}{\cos(90^\circ + a)} \cdot \operatorname{ctg}(270^\circ + a) ]

Разберем выражение по частям:

1. Рассмотрим (\sin(180^\circ + a)):

   По формуле приведения:

   [ \sin(180^\circ + a) = -\sin(a). ]

2. Рассмотрим (\sin(270^\circ - a)):

   По формуле приведения:

   [ \sin(270^\circ - a) = -\cos(a). ]

3. Рассмотрим (\cos(90^\circ + a)):

   По формуле приведения:

   [ \cos(90^\circ + a) = -\sin(a). ]

4. Рассмотрим (\operatorname{ctg}(270^\circ + a)):

   Напомним, что (\operatorname{ctg}(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}). Используя формулы приведения:

   [ \operatorname{ctg}(270^\circ + a) = \frac{\cos(270^\circ + a)}{\sin(270^\circ + a)}. ]

   Для (\cos(270^\circ + a)):

   [ \cos(270^\circ + a) = \sin(a). ]

   Для (\sin(270^\circ + a)):

   [ \sin(270^\circ + a) = -\cos(a). ]

   Тогда:

   [ \operatorname{ctg}(270^\circ + a) = \frac{\sin(a)}{-\cos(a)} = -\frac{\sin(a)}{\cos(a)} = -\operatorname{tg}(a). ]

Подставим все найденное в исходное выражение:

[ \frac{\sin(180^\circ + a) \cdot \sin(270^\circ - a)}{\cos(90^\circ + a)} \cdot \operatorname{ctg}(270^\circ + a) ]

Подставляем значения:

[ \frac{(-\sin(a)) \cdot (-\cos(a))}{-\sin(a)} \cdot (-\operatorname{tg}(a)). ]

Упростим числитель и знаменатель:

1. В числителе: ((- \sin(a)) \cdot (- \cos(a)) = \sin(a) \cdot \cos(a)).
2. В знаменателе: (-\sin(a)).
3. Умножаем на ( -\operatorname{tg}(a)).

Получаем:

[ \frac{\sin(a) \cdot \cos(a)}{-\sin(a)} \cdot (-\operatorname{tg}(a)). ]

Сократим (\sin(a)) в числителе и знаменателе ((\sin(a) \neq 0)):

[ \frac{\cos(a)}{-1} \cdot (-\operatorname{tg}(a)). ]

Упростим:

[

• \cos(a) \cdot (-\operatorname{tg}(a)). ]

[ = \cos(a) \cdot \operatorname{tg}(a). ]

Напомним, что (\operatorname{tg}(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}). Тогда:

[ \cos(a) \cdot \operatorname{tg}(a) = \cos(a) \cdot \frac{\sin(a)}{\cos(a)}. ]

Сократим (\cos(a)):

[ \sin(a). ]

Ответ:

[ \sin(a). ]

Для упрощения выражения ( \frac{\sin(180^\circ + a) \sin(270^\circ - a)}{\cos(90^\circ + a) \cdot \cot(270^\circ + a)} ):

1. Используем тригонометрические идентичности:

   • ( \sin(180^\circ + a) = -\sin(a) )
   • ( \sin(270^\circ - a) = -\cos(a) )
   • ( \cos(90^\circ + a) = -\sin(a) )
   • ( \cot(270^\circ + a) = -\tan(a) = -\frac{\sin(a)}{\cos(a)} )

2. Подставим все это в выражение: [ \frac{(-\sin(a))(-\cos(a))}{(-\sin(a)) \cdot \left(-\frac{\sin(a)}{\cos(a)}\right)} = \frac{\sin(a) \cos(a)}{\sin(a) \cdot \frac{\sin(a)}{\cos(a)}} ]

3. Упрощаем: [ = \frac{\sin(a) \cos(a)}{\frac{\sin^2(a)}{\cos(a)}} = \frac{\sin(a) \cos^2(a)}{\sin^2(a)} = \frac{\cos^2(a)}{\sin(a)} ]

Таким образом, окончательный ответ: [ \frac{\cos^2(a)}{\sin(a)} ]

Давайте упростим выражение ( \frac{\sin(180^\circ + a) \sin(270^\circ - a)}{\cos(90^\circ + a) \cdot \cot(270^\circ + a)} ).

1. Упрощение ( \sin(180^\circ + a) ): [ \sin(180^\circ + a) = -\sin(a) ]

2. Упрощение ( \sin(270^\circ - a) ): [ \sin(270^\circ - a) = -\cos(a) ]

3. Теперь подставим эти значения в числитель: [ \sin(180^\circ + a) \sin(270^\circ - a) = (-\sin(a)) \cdot (-\cos(a)) = \sin(a) \cos(a) ]

4. Упрощение ( \cos(90^\circ + a) ): [ \cos(90^\circ + a) = -\sin(a) ]

5. Упрощение ( \cot(270^\circ + a) ): [ \cot(270^\circ + a) = \frac{\cos(270^\circ + a)}{\sin(270^\circ + a)} = \frac{-\sin(a)}{-\cos(a)} = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} = \tan(a) ]

6. Теперь подставим значения в знаменатель: [ \cos(90^\circ + a) \cdot \cot(270^\circ + a) = (-\sin(a)) \cdot \tan(a) = -\sin(a) \cdot \frac{\sin(a)}{\cos(a)} = -\frac{\sin^2(a)}{\cos(a)} ]

7. Подставим всё это в исходное выражение: [ \frac{\sin(a) \cos(a)}{-\frac{\sin^2(a)}{\cos(a)}} = \frac{\sin(a) \cos(a) \cdot \cos(a)}{-\sin^2(a)} = \frac{\sin(a) \cos^2(a)}{-\sin^2(a)} ]

8. Упрощаем: [ = -\frac{\cos^2(a)}{\sin(a)} ]

Теперь окончательно: [ \frac{\sin(180^\circ + a) \sin(270^\circ - a)}{\cos(90^\circ + a) \cdot \cot(270^\circ + a)} = -\frac{\cos^2(a)}{\sin(a)} ]

Итак, ответ: [ -\frac{\cos^2(a)}{\sin(a)} ]