Sin ( x/2-pi/6)=1 тригонометрические уравнения

x=pi/3+2kpi, x=5pi/3+2kpi, где k - целое число.

Для решения данного тригонометрического уравнения Sin(x/2 - π/6) = 1 нужно применить тригонометрическую формулу синуса разности углов: Sin(a - b) = Sin(a)Cos(b) - Cos(a)Sin(b).

Заметим, что Sin(π/6) = 1/2 и Cos(π/6) = √3/2.

Подставим значения Sin(π/6) и Cos(π/6) в формулу Sin(x/2 - π/6) = 1 и получим:

Sin(x/2)Cos(π/6) - Cos(x/2)Sin(π/6) = 1 Sin(x/2)(√3/2) - Cos(x/2)(1/2) = 1 √3/2Sin(x/2) - 1/2Cos(x/2) = 1.

Теперь приведем уравнение к виду Sin(x/2) = aCos(x/2) + b, где a = √3/2 и b = -1/2:

Sin(x/2) = √3/2*Cos(x/2) - 1/2.

Далее можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и привести уравнение к более простому виду для дальнейшего решения.

Рассмотрим уравнение ( \sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right) = 1 ). Задача заключается в нахождении всех значений ( x ), при которых это уравнение выполняется.

Для начала вспомним, при каких значениях аргумента синус равен 1. Синус принимает значение 1 при угле (\frac{\pi}{2}) плюс любое целое число, умноженное на полный круг (2\pi). То есть: [ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, ] где ( k ) — целое число.

Теперь решим это уравнение для ( x ). Сначала избавимся от дроби (\frac{x}{2}): [ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi. ]

Прибавим (\frac{\pi}{6}) к обеим частям уравнения: [ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi. ]

Приведем правую часть к общему знаменателю. Общий знаменатель для (\frac{\pi}{2}) и (\frac{\pi}{6}) будет 6: [ \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}, ] [ \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}. ]

Таким образом, уравнение принимает вид: [ \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{4\pi}{6} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi. ]

Теперь умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби (\frac{x}{2}): [ x = 2 \left( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \right). ]

Раскроем скобки: [ x = \frac{4\pi}{3} + 4k\pi. ]

Таким образом, решение уравнения можно записать в виде: [ x = \frac{4\pi}{3} + 4k\pi, ] где ( k ) — целое число.

Это и есть общее решение уравнения ( \sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right) = 1 ).