Решите уравнение,используя замену неизвестного: (x^2-2x)^2-2(x-1)^2-1=0

x = 1

Давайте решим уравнение ((x^2 - 2x)^2 - 2(x - 1)^2 - 1 = 0) с помощью замены переменной.

1. Замена переменной: Введем новую переменную ( y ): [ y = x^2 - 2x ] Тогда уравнение станет: [ y^2 - 2(x - 1)^2 - 1 = 0 ]

2. Раскрытие скобок: Раскроем скобки в выражении ( (x - 1)^2 ): [ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 ] Подставим это в уравнение: [ y^2 - 2(x^2 - 2x + 1) - 1 = 0 ]

3. Упрощение уравнения: Подставим ( y = x^2 - 2x ) в упрощенное уравнение: [ y^2 - 2(x^2 - 2x + 1) - 1 = 0 \implies y^2 - 2(x^2 - 2x + 1) - 1 = 0 ] Так как ( y = x^2 - 2x ), уравнение примет вид: [ y^2 - 2(x^2 - 2x + 1) - 1 = 0 \implies y^2 - 2(y + 1) - 1 = 0 ] Упростим выражение: [ y^2 - 2y - 2 - 1 = 0 \implies y^2 - 2y - 3 = 0 ]

4. Решение квадратного уравнения: Решим квадратное уравнение ( y^2 - 2y - 3 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ] Найдем корни: [ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2} ] Таким образом, получаем: [ y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 ]

5. Возврат к оригинальной переменной: Теперь у нас есть два уравнения для ( y ): [ y = 3 \quad \text{и} \quad y = -1 ]

   Подставим обратно ( y = x^2 - 2x ): [ 1) \quad x^2 - 2x = 3 ] Решим это квадратное уравнение: [ x^2 - 2x - 3 = 0 ] Найдем корни с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ] Корни: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2} ] Таким образом, получаем: [ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 ]

   Теперь рассмотрим второе уравнение: [ 2) \quad x^2 - 2x = -1 ] Решим это квадратное уравнение: [ x^2 - 2x + 1 = 0 ] Это уравнение можно записать как: [ (x - 1)^2 = 0 ] Отсюда: [ x = 1 ]

6. Ответ: Таким образом, решения исходного уравнения: [ x = 3, \quad x = -1, \quad x = 1 ]

Для решения данного уравнения сначала проведем замену неизвестного. Обозначим (y = x - 1). Тогда уравнение примет вид:

((y^2 - 2y)^2 - 2y^2 - 1 = 0).

Раскроем скобки и упростим:

((y^4 - 4y^3 + 4y^2) - 2y^2 - 1 = 0),

(y^4 - 4y^3 + 2y^2 - 1 = 0).

Теперь решим полученное уравнение относительно (y). Получаем квадратное уравнение:

(y^2 - 4y + 1 = 0).

Решим его с помощью дискриминанта:

(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12).

(y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}).

Таким образом, получили два значения (y_1 = 2 + \sqrt{3}) или (y_2 = 2 - \sqrt{3}).

Теперь найдем соответствующие значения (x):

(x_1 = y_1 + 1 = 2 + \sqrt{3} + 1 = 3 + \sqrt{3}),

(x_2 = y_2 + 1 = 2 - \sqrt{3} + 1 = 3 - \sqrt{3}).

Итак, корни уравнения ( (x^2-2x)^2 - 2(x-1)^2 - 1 = 0 ) равны ( x = 3 + \sqrt{3} ) и ( x = 3 - \sqrt{3} ).