Решите уравнение x^4+2x^2-8=0
Решите уравнение x^4+2x^2-8=0
Данное уравнение можно рассматривать как квадратное уравнение относительно переменной x^2. Для этого введем новую переменную y = x^2. Тогда уравнение примет вид y^2 + 2y - 8 = 0.
Решим это квадратное уравнение по обычной формуле:
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 1 (-8) = 4 + 32 = 36.
Так как дискриминант положителен, то у уравнения два корня:
y1 = (-2 + √36) / 2 = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2, y2 = (-2 - √36) / 2 = (-2 - 6) / 2 = -8 / 2 = -4.
Теперь найдем корни исходного уравнения, зная значение y:
1) x^2 = 2 => x = ±√2, 2) x^2 = -4 => нет действительных корней.
Итак, уравнение x^4 + 2x^2 - 8 = 0 имеет два действительных корня: x = √2 и x = -√2.
Для решения уравнения ( x^4 + 2x^2 - 8 = 0 ), можно ввести новую переменную, чтобы упростить уравнение. Пусть ( y = x^2 ). Тогда уравнение примет вид:
[ y^2 + 2y - 8 = 0 ]
Это квадратное уравнение относительно ( y ). Для его решения воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:
[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -8 ). Подставим эти значения:
[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} ]
Отсюда получаем два значения для ( y ):
Поскольку ( y = x^2 ) и ( x^2 ) не может быть отрицательным числом, ( y = -4 ) не дает реальных значений для ( x ). Рассмотрим ( y = 2 ):
[ x^2 = 2 ]
Теперь найдем ( x ):
[ x = \pm \sqrt{2} ]
Таким образом, уравнение ( x^4 + 2x^2 - 8 = 0 ) имеет два реальных корня: ( x = \sqrt{2} ) и ( x = -\sqrt{2} ).
