Решите уравнение x^3+2x^2-x-2=0

Для решения уравнения (x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0) мы можем использовать метод разложения на множители. Первый шаг — найти возможные рациональные корни уравнения. Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение имеет рациональный корень, то он должен быть делителем свободного члена (в данном случае, -2) делённого на коэффициент при старшей степени (в данном случае, 1).

Свободный член: -2 Коэффициент при старшей степени: 1

Возможные рациональные корни: (\pm 1, \pm 2).

Теперь проверим каждый из этих корней методом подстановки.

1. Проверим (x = 1): [ 1^3 + 2(1)^2 - 1 - 2 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 ] Значит, (x = 1) является корнем уравнения.

2. Следующий шаг — разложить многочлен, используя найденный корень. Поскольку (x = 1) является корнем, ((x - 1)) будет одним из множителей. Выполним деление многочлена (x^3 + 2x^2 - x - 2) на ((x - 1)).

Для этого используем метод деления многочлена на многочлен:

[ \begin{array}{r|rrrr} & x^2 & 3x & 2 \ \hline x-1 & x^3 & 2x^2 & -x & -2 \ & x^3 & -x^2 & & \ \hline & & 3x^2 & -x & \ & & 3x^2 & -3x & \ \hline & & & 2x & -2 \ & & & 2x & -2 \ \hline & & & & 0 \ \end{array} ]

После деления получаем:

[ x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x - 1)(x^2 + 3x + 2) ]

Теперь решим квадратное уравнение (x^2 + 3x + 2 = 0). Для этого найдем корни данного уравнения, используя формулу для квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где (a = 1), (b = 3), (c = 2).

Подставим значения:

[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2}. ]

Таким образом, получаем два корня:

[ x = \frac{-3 + 1}{2} = -1, \quad x = \frac{-3 - 1}{2} = -2. ]

Итак, у нас есть три корня уравнения:

[ x = 1, \quad x = -1, \quad x = -2. ]

Ответ: (x = 1), (x = -1), (x = -2).

Для решения данного уравнения сначала необходимо попробовать найти рациональные корни с помощью метода подбора или использования формулы Рационы - Луффа. Поиск корней при помощи метода подбора показывает, что одним из корней уравнения является x = 1. Для нахождения других корней можно воспользоваться методом синтетического деления или методом Ньютона. После нахождения всех корней их можно записать в виде (x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0, что дает корни x = 1, x = 1 и x = -2. Таким образом, уравнение x^3+2x^2-x-2=0 имеет три корня: x = 1, x = 1 и x = -2.

x = 1, x = -1, x = -2