Решите уравнение только подробно плиз 2sin(3x-п/4)=-корень из 2

Для решения уравнения (2 \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}) начнем с упрощения:

1. Разделим обе части уравнения на 2: [ \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

2. Значение (-\frac{\sqrt{2}}{2}) соответствует синусам углов (225^\circ) (или (\frac{5\pi}{4})) и (315^\circ) (или (\frac{7\pi}{4})) в стандартном положении на единичной окружности. Поскольку синус периодичен с периодом (2\pi), общие решения для каждого угла имеют вид: [ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi ] где (k) - целое число.

3. Решаем каждое из уравнений отдельно:

   Для (\frac{5\pi}{4} + 2k\pi): [ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi ] [ 3x = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{6\pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi ] [ x = \frac{\frac{3\pi}{2} + 2k\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3} ]

   Для (\frac{7\pi}{4} + 2k\pi): [ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi ] [ 3x = \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{8\pi}{4} + 2k\pi = 2\pi + 2k\pi ] [ x = \frac{2\pi + 2k\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} ]

4. Объединяем решения: [ x = \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} ] где (k) - целое число.

Таким образом, общее решение исходного уравнения: [ x = \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3} ] где (k) - любое целое число. Это решение включает в себя все возможные значения (x), которые удовлетворяют исходному уравнению.

Для решения данного уравнения начнем с того, что выразим sin(3x - π/4) как отношение противоположной стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Заметим, что sin(3x - π/4) = -√2/2, что соответствует синусу угла -45 градусов.

Теперь построим прямоугольный треугольник, в котором угол равен -45 градусов. Из геометрических соображений, мы можем утверждать, что противоположная сторона равна -√2, а прилежащая сторона равна 2. Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник с катетами 2 и -√2.

Теперь мы можем найти угол 3x - π/4, для которого синус равен -√2/2. Этот угол равен -45 градусам, или -π/4 радиан. Таким образом, у нас имеется уравнение 3x - π/4 = -π/4.

Решив это уравнение, мы найдем x = 0.

Таким образом, решение уравнения 2sin(3x - π/4) = -√2 равно x = 0.

2sin(3x-π/4) = -√2

sin(3x-π/4) = -√2/2

Так как sin(-π/4) = -√2/2, то:

3x-π/4 = -π/4 + 2πk или 3x-π/4 = π/4 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, решением уравнения будет:

x = 0 + 2πk/3 или x = π/2 + 2πk/3, где k - целое число.