) Решите уравнение tg^2x-3tgx+2=0 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку pi\2;2pi

a) Для решения уравнения tg^2x - 3tgx + 2 = 0 преобразуем его к виду квадратного уравнения относительно tg x:

(tg x)^2 - 3tg x + 2 = 0

Обозначим tg x за t, тогда получим уравнение:

t^2 - 3t + 2 = 0

Далее решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-3)^2 - 412 = 9 - 8 = 1

t1,2 = (3 ± √1) / 2 = 2, 1

Таким образом, получаем два корня для t: t1 = 2 и t2 = 1

Обратно подставляем найденные значения t в уравнение tg x = t и находим соответствующие значения x:

1) tg x = 2

x1 = arctg 2 + πn, где n - целое число

2) tg x = 1

x2 = arctg 1 + πn = π/4 + πn

b) Теперь найдем корни уравнения tg^2x - 3tgx + 2 = 0, которые принадлежат отрезку [π/2; 2π]. Подставляем найденные значения x1 и x2 в интервал и определяем подходящие корни:

x1 = arctg 2 + πn

x1 ∈ [π/2; 2π] при n = 0

x1 = arctg 2

x2 = π/4 + πn

x2 ∈ [π/2; 2π] при n = 1

x2 = 5π/4

Таким образом, корни уравнения tg^2x - 3tgx + 2 = 0, принадлежащие отрезку [π/2; 2π], это x1 = arctg 2 и x2 = 5π/4.

Давайте решим уравнение (\tan^2 x - 3 \tan x + 2 = 0).

а) Решение уравнения:

1. Введем замену: пусть ( t = \tan x ). Тогда уравнение принимает вид: [ t^2 - 3t + 2 = 0 ]

2. Это квадратное уравнение. Решим его, используя дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 ]

3. Найдем корни уравнения: [ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{2} ]

   Таким образом, получаем два корня: [ t_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 ] [ t_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 ]

4. Вернемся к переменной ( x ): [ \tan x = 2 \quad \text{или} \quad \tan x = 1 ]

5. Решим каждое из уравнений:

   • Для (\tan x = 2): ( x = \arctan 2 + \pi k ), где ( k \in \mathbb{Z} ).
   • Для (\tan x = 1): ( x = \frac{\pi}{4} + \pi n ), где ( n \in \mathbb{Z} ).

б) Найдем корни на отрезке (\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]):

1. Рассмотрим (\tan x = 2): [ x = \arctan 2 + \pi k ] Приблизительно (\arctan 2 \approx 1.107).

   Проверим значения ( k ):

   • ( k = 1 ): ( x \approx 1.107 + \pi \approx 4.249 ), подходит, так как ( \frac{\pi}{2} \leq 4.249 \leq 2\pi ).
   • ( k = 2 ): ( x \approx 1.107 + 2\pi \approx 7.390 ), не подходит, так как выходит за границы ( 2\pi ).

   Таким образом, на отрезке (\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]) имеем один корень: ( x \approx 4.249 ).

2. Рассмотрим (\tan x = 1): [ x = \frac{\pi}{4} + \pi n ] Проверим значения ( n ):

   • ( n = 1 ): ( x = \frac{\pi}{4} + \pi \approx 3.927 ), подходит.
   • ( n = 2 ): ( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi \approx 7.068 ), не подходит.

   Таким образом, на отрезке (\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]) имеем один корень: ( x \approx 3.927 ).

Итак, корни уравнения, принадлежащие отрезку (\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]), это ( x \approx 3.927 ) и ( x \approx 4.249 ).