Решите уравнение sin(pi/2 + 2x) + √3cosx + 1 = 0 Укажите корни принадлежащие отрезку [-pi; pi/2]

x = -pi/6, x = -pi/3

Чтобы решить уравнение ( \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + \sqrt{3}\cos x + 1 = 0 ), сначала упростим его.

1. Заметим, что: [ \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = \cos 2x ] Это связано с тем, что ( \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos \theta ).

2. Подставив это в уравнение, получим: [ \cos 2x + \sqrt{3} \cos x + 1 = 0 ]

3. Используем тригонометрическое тождество для косинуса двойного угла: [ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 ] Подставим это в уравнение: [ 2\cos^2 x - 1 + \sqrt{3} \cos x + 1 = 0 ]

4. Упростим: [ 2\cos^2 x + \sqrt{3} \cos x = 0 ]

5. Вынесем (\cos x) за скобки: [ \cos x (2\cos x + \sqrt{3}) = 0 ]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. ( \cos x = 0 )
2. ( 2\cos x + \sqrt{3} = 0 )

Решим каждое из них:

Уравнение 1: ( \cos x = 0 )

Косинус равен нулю в точках: [ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

На отрезке ([- \pi, \frac{\pi}{2}]) это уравнение имеет корень: [ x = -\frac{\pi}{2} ]

Уравнение 2: ( 2\cos x + \sqrt{3} = 0 )

Решим его: [ 2\cos x = -\sqrt{3} ] [ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

Косинус равен (-\frac{\sqrt{3}}{2}) в точках: [ x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

На отрезке ([- \pi, \frac{\pi}{2}]) это уравнение имеет корень: [ x = -\frac{5\pi}{6} ]

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку ([- \pi, \frac{\pi}{2}]), это: [ x = -\frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad x = -\frac{5\pi}{6} ]

Для начала преобразуем уравнение: sin(pi/2 + 2x) = cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x) √3cosx = √3cosx Таким образом, уравнение примет вид: 1 - 2sin^2(x) + √3cosx + 1 = 0 -2sin^2(x) + √3cosx + 2 = 0

Далее, применим формулы для sin(2x) и cos(2x): -2(2sin(x)cos(x)) + √3cosx + 2 = 0 -4sin(x)cos(x) + √3cosx + 2 = 0 cos(x)(-4sin(x) + √3) + 2 = 0 cos(x)(√3 - 4sin(x)) + 2 = 0

Теперь можем выразить sin(x) через cos(x): sin(x) = √(1 - cos^2(x))

Подставим это в уравнение: cos(x)(√3 - 4√(1 - cos^2(x))) + 2 = 0 cos(x)√3 - 4cos(x)√(1 - cos^2(x)) + 2 = 0 cos(x)√3 - 4cos(x)√(sin^2(x)) + 2 = 0 cos(x)√3 - 4cos(x)sin(x) + 2 = 0

Отсюда следует, что корни данного уравнения будут значениями x, для которых выражение cos(x)√3 - 4cos(x)sin(x) + 2 равно нулю на отрезке [-π; π/2].