Решите уравнение пожалуйста 1/sin^2x -3/sinx +2=0

Данное уравнение можно преобразовать следующим образом:

1/sin^2x - 3/sinx + 2 = 0 (sin^2x - 3sinx + 2) / sin^2x = 0 (sin^2x - 2sinx - sinx + 2) / sin^2x = 0 (sin(x) - 2)(sin(x) - 1) / sin^2x = 0.

Таким образом, получаем два решения: sin(x) = 2 и sin(x) = 1.

Однако, так как значение синуса ограничено от -1 до 1, то уравнение sin(x) = 2 не имеет решений в диапазоне от 0 до 2π. Следовательно, решением данного уравнения будет sin(x) = 1.

Давайте решим уравнение:

[ \frac{1}{\sin^2{x}} - \frac{3}{\sin{x}} + 2 = 0 ]

Для удобства введем замену переменной: ( y = \sin{x} ). Тогда уравнение примет вид:

[ \frac{1}{y^2} - \frac{3}{y} + 2 = 0 ]

Теперь умножим все члены уравнения на ( y^2 ) (при условии, что ( y \neq 0 )), чтобы избавиться от дробей:

[ 1 - 3y + 2y^2 = 0 ]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 ]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Для квадратного уравнения ( ay^2 + by + c = 0 ), дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем уравнении ( a = 2 ), ( b = -3 ), ( c = 1 ). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных решения:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения ( a ), ( b ) и ( D ):

[ y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} ]

Получим два корня:

[ y_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 ]

[ y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} ]

Теперь вернемся к переменной ( x ):

1. Для ( y = 1 ): [ \sin{x} = 1 ] Это равенство выполняется при: [ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

2. Для ( y = \frac{1}{2} ): [ \sin{x} = \frac{1}{2} ] Это равенство выполняется при: [ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общее решение уравнения:

[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Для решения данного уравнения необходимо преобразовать его в квадратное уравнение относительно sin(x). Для этого введем замену: t = sin(x), тогда уравнение примет вид t^2 - 3t + 2 = 0. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта D = b^2 - 4ac:

D = (-3)^2 - 412 = 9 - 8 = 1

Так как D > 0, то у квадратного уравнения два корня:

t1 = (3 + 1) / 2 = 2 t2 = (3 - 1) / 2 = 1

После этого найдем значения sin(x) для каждого корня:

sin(x) = 2, sin(x) = 1

Так как sin(x) не может быть больше 1, то единственным корнем уравнения будет sin(x) = 1.

Ответ: x = π/2 + 2πn, где n - целое число.