Решите уравнение: log5 x-3logx 5=2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать свойства логарифмов.

Итак, у нас есть уравнение log5 x - 3logx 5 = 2. Мы знаем, что loga b = logc b / logc a. Используя это свойство, мы можем переписать уравнение в виде:

log5 x - log5 x^3 = 2 log5 (x / x^3) = 2 log5 (1 / x^2) = 2 log5 (5^2) = 2 2 = 2

Таким образом, мы видим, что уравнение имеет бесконечное количество решений, так как левая и правая части равны друг другу. Таким образом, решение уравнения log5 x - 3logx 5 = 2 равно x = любому числу, отличному от нуля.

Чтобы решить уравнение (\log_5 x - 3\log_x 5 = 2), давайте сначала упростим его. Напомним, что (\log_b a = \frac{1}{\log_a b}). Это свойство позволяет преобразовать (\log_x 5) следующим образом:

[ \log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x} ]

Подставим это в уравнение:

[ \log_5 x - 3 \cdot \frac{1}{\log_5 x} = 2 ]

Обозначим (\log_5 x = y). Тогда уравнение примет вид:

[ y - \frac{3}{y} = 2 ]

Умножим обе стороны на (y), чтобы избавиться от дроби:

[ y^2 - 3 = 2y ]

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

[ y^2 - 2y - 3 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого найдем его корни с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) равен:

[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 ]

Корни уравнения находятся по формуле:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

Подставим значения:

[ y_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} ]

Получаем два корня:

[ y_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad y_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]

Теперь вернемся к нашей замене. Мы обозначили (\log_5 x = y). Значит, для (y = 3):

[ \log_5 x = 3 \implies x = 5^3 = 125 ]

Для (y = -1):

[ \log_5 x = -1 \implies x = 5^{-1} = \frac{1}{5} ]

Таким образом, уравнение имеет два решения: (x = 125) и (x = \frac{1}{5}).

x = 5