Решите уравнение : log3(x+1) + log3(x+3) = 1

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами логарифмов.

Сначала объединим логарифмы с одинаковым основанием: log3((x+1)(x+3)) = 1

Далее преобразуем логарифмическое уравнение в экспоненциальное: 3^1 = (x+1)(x+3)

3 = x^2 + 4x + 3

Переносим все в левую часть уравнения: x^2 + 4x + 3 - 3 = 0

x^2 + 4x = 0

Факторизуем левую часть: x(x + 4) = 0

Таким образом, получаем два возможных корня уравнения: x = 0 и x = -4.

Проверим корни подставив их в исходное уравнение: При x = 0: log3(1) + log3(3) = 0 + 1 = 1 При x = -4: log3(-3) + log3(-1) - не существует, так как логарифм отрицательного числа не определен.

Следовательно, корень уравнения x = 0.

x = 2

Для решения уравнения ( \log_3(x+1) + \log_3(x+3) = 1 ), воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Сложение логарифмов: Сначала используем свойство логарифмов, которое позволяет преобразовать сумму логарифмов в логарифм произведения: [ \log_3(x+1) + \log_3(x+3) = \log_3((x+1)(x+3)). ] Тогда уравнение примет вид: [ \log_3((x+1)(x+3)) = 1. ]

2. Убираем логарифм: Теперь воспользуемся определением логарифма: если (\log_3(a) = b), то (a = 3^b). Применяя это к нашему уравнению, получаем: [ (x+1)(x+3) = 3^1, ] что упрощается до: [ (x+1)(x+3) = 3. ]

3. Раскрываем скобки: Раскроем скобки в левой части уравнения: [ x^2 + 3x + x + 3 = 3, ] что упрощается до: [ x^2 + 4x + 3 = 3. ]

4. Упрощаем выражение: Переносим все члены на одну сторону уравнения: [ x^2 + 4x + 3 - 3 = 0, ] что упрощается до: [ x^2 + 4x = 0. ]

5. Решаем квадратное уравнение: Заметим, что уравнение можно упростить: [ x(x+4) = 0. ] Таким образом, у нас есть два возможных решения: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -4. ]

6. Проверка решений: Нам нужно проверить, удовлетворяют ли эти решения исходному уравнению, учитывая область допустимых значений (ОДЗ). Для логарифмов аргумент должен быть положительным: [ x+1 > 0 \quad \text{и} \quad x+3 > 0. ] Это означает: [ x > -1 \quad \text{и} \quad x > -3. ] Из этого следует, что ( x > -1 ). Теперь проверим наши решения:

   • ( x = 0 ): [ \log_3(0+1) + \log_3(0+3) = \log_3(1) + \log_3(3) = 0 + 1 = 1. ] Значит, ( x = 0 ) подходит.

   • ( x = -4 ): [ \log_3(-4+1) + \log_3(-4+3) = \log_3(-3) + \log_3(-1). ] Поскольку аргументы логарифмов отрицательные, это значение не входит в область допустимых значений.

Итак, единственным решением уравнения является: [ x = 0. ]