Решите уравнение log3 (x-8) +log3 x=2

Для решения уравнения ( \log_3 (x - 8) + \log_3 x = 2 ) используем свойства логарифмов:

[ \log_3 ((x - 8) \cdot x) = 2 ]

Это можно переписать в экспоненциальной форме:

[ (x - 8) \cdot x = 3^2 ]

То есть:

[ x^2 - 8x = 9 ]

Переносим все в левую часть:

[ x^2 - 8x - 9 = 0 ]

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 ]

Корни уравнения:

[ x = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]

Проверяем допустимость корней. Поскольку логарифм определен только для положительных аргументов, ( x) должно быть больше 8. Таким образом, только ( x = 9 ) является допустимым решением.

Ответ: ( x = 9 ).

Рассмотрим уравнение:

[ \log_3 (x - 8) + \log_3 x = 2 ]

Шаг 1: Используем свойства логарифмов

Свойство логарифмов говорит, что сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения аргументов:

[ \log_3 (a) + \log_3 (b) = \log_3 (a \cdot b). ]

Применим это свойство к нашему уравнению:

[ \log_3 \big((x - 8) \cdot x\big) = 2. ]

Теперь уравнение становится:

[ \log_3 \big(x(x - 8)\big) = 2. ]

Шаг 2: Перейдем от логарифмической формы к экспоненциальной

По определению логарифма:

[ \log_b (A) = C \quad \Leftrightarrow \quad A = b^C. ]

В нашем случае (b = 3), (A = x(x - 8)), (C = 2). Применяем:

[ x(x - 8) = 3^2. ]

Вычислим (3^2):

[ x(x - 8) = 9. ]

Шаг 3: Раскрываем скобки и преобразуем уравнение

Раскроем скобки в левой части уравнения:

[ x^2 - 8x = 9. ]

Переносим всё в одну сторону:

[ x^2 - 8x - 9 = 0. ]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Имеем квадратное уравнение:

[ x^2 - 8x - 9 = 0. ]

Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac, ]

где (a = 1), (b = -8), (c = -9). Подставляем значения:

[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100. ]

Теперь находим корни квадратного уравнения с помощью формулы:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. ]

Подставляем значения (a = 1), (b = -8), (D = 100):

[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 10}{2}. ]

Находим два корня:

[ x_1 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9, ] [ x_2 = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1. ]

Шаг 5: Проверка области определения

Логарифм определён только для положительных аргументов. У нас есть два выражения под логарифмами: (x - 8) и (x). Они должны быть больше нуля:

1. (x > 8) (из (x - 8 > 0)),
2. (x > 0) (из (x > 0)).

Таким образом, совместное условие: (x > 8).

Проверим наши корни:

• (x = 9) удовлетворяет условию (x > 8),
• (x = -1) не удовлетворяет условию (x > 8).

Шаг 6: Ответ

Единственный корень уравнения:

[ \boxed{x = 9}. ]

Чтобы решить уравнение ( \log_3 (x - 8) + \log_3 x = 2 ), мы можем использовать свойства логарифмов. В частности, мы можем использовать свойство, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:

[ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) ]

Применим это свойство к нашему уравнению:

[ \log_3 (x - 8) + \log_3 x = \log_3 ((x - 8) \cdot x) ]

Таким образом, уравнение можно переписать как:

[ \log_3 ((x - 8) \cdot x) = 2 ]

Теперь мы можем избавиться от логарифма, используя определение логарифма. Уравнение ( \log_3 A = B ) эквивалентно ( A = 3^B ). В нашем случае это дает:

[ (x - 8) \cdot x = 3^2 ]

Следовательно:

[ (x - 8) \cdot x = 9 ]

Теперь раскроем скобки и перенесем все в одну сторону:

[ x^2 - 8x - 9 = 0 ]

Теперь это квадратное уравнение. Для его решения можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = 1 ), ( b = -8 ), ( c = -9 ). Подставим значения:

[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} ]

Сначала найдем дискриминант:

[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 ]

Теперь подставим дискриминант в формулу:

[ x = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2} ]

Это дает два возможных значения для ( x ):

1. ( x_1 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 )
2. ( x_2 = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 )

Теперь нужно проверить, подходят ли найденные значения для исходного уравнения, поскольку логарифмы определены только для положительных аргументов.

1. Для ( x_1 = 9 ):

   • ( x - 8 = 9 - 8 = 1 ) (положительно)
   • ( x = 9 ) (положительно)
   • Таким образом, ( \log_3(1) + \log_3(9) = 0 + 2 = 2 ), что верно.

2. Для ( x_2 = -1 ):

   • ( x - 8 = -1 - 8 = -9 ) (отрицательно)
   • ( x = -1 ) (отрицательно)
   • Логарифмы не определены для отрицательных чисел.

Таким образом, единственным допустимым решением уравнения является:

[ x = 9 ]