Решите уравнение: log2(2x-1)-2=log2(x+2)-log2(x+1) Распишите полностью, пожалуйста.

log2(2x-1) - 2 = log2(x+2) - log2(x+1)

log2(2x-1) - 2 = log2((x+2)/(x+1))

log2(2x-1) - 2 = log2(1 + 1/(x+1))

2x - 1 = 1 + 1/(x+1)

2x - 2 = 1/(x+1)

2(x+1) = 1

2x + 2 = 1

2x = -1

x = -1/2

Для решения данного уравнения распишем его по шагам:

1. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифмов: log(a) - log(b) = log(a/b) log2(2x-1)-2 = log2[(2x-1)/2^2] = log2[(2x-1)/4]

2. Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство логарифмов: log(a) - log(b) = log(a/b) log2(x+2)-log2(x+1) = log2[(x+2)/(x+1)]

3. Теперь уравнение примет вид: log2[(2x-1)/4] = log2[(x+2)/(x+1)]

4. Согласно свойству логарифмов, если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то и аргументы под логарифмами равны: (2x-1)/4 = (x+2)/(x+1)

5. Упростим уравнение, умножив обе части на 4 и раскрыв скобки: 4(2x-1) = (x+2)(x+1) 8x-4 = x^2 + 3x + 2

6. Приведем уравнение к квадратному виду: x^2 - 5x + 6 = 0

7. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = (-5)^2 - 416 = 25 - 24 = 1 x1,2 = (5 +/- sqrt(1))/2 = 3, 2

Таким образом, уравнение log2(2x-1)-2=log2(x+2)-log2(x+1) имеет два корня: x1 = 3 и x2 = 2.

Конечно, давайте решим уравнение:

[ \log_2(2x - 1) - 2 = \log_2(x + 2) - \log_2(x + 1) ]

Для начала упростим обе стороны уравнения и приведем его к более удобному виду.

1. Преобразуем правую часть уравнения: [ \log_2(x + 2) - \log_2(x + 1) = \log_2 \left( \frac{x + 2}{x + 1} \right) ]

Теперь уравнение выглядит так: [ \log_2(2x - 1) - 2 = \log_2 \left( \frac{x + 2}{x + 1} \right) ]

1. Поскольку ( -2 = \log_2(2^{-2}) = \log_2\left(\frac{1}{4}\right) ), перепишем уравнение: [ \log_2(2x - 1) + \log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2 \left( \frac{x + 2}{x + 1} \right) ]

2. Применим свойства логарифмов: [ \log_2\left((2x - 1) \cdot \frac{1}{4}\right) = \log_2 \left( \frac{x + 2}{x + 1} \right) ]

3. Упростим выражение внутри логарифмов: [ \log_2\left(\frac{2x - 1}{4}\right) = \log_2 \left( \frac{x + 2}{x + 1} \right) ]

4. Если логарифмы равны, то и их аргументы равны: [ \frac{2x - 1}{4} = \frac{x + 2}{x + 1} ]

5. Пропорцию упростим к линейному уравнению, перемножив крест-накрест: [ (2x - 1)(x + 1) = 4(x + 2) ]

6. Раскроем скобки и упростим: [ 2x^2 + 2x - x - 1 = 4x + 8 ] [ 2x^2 + x - 1 = 4x + 8 ]

7. Перенесем все члены на одну сторону уравнения: [ 2x^2 + x - 1 - 4x - 8 = 0 ] [ 2x^2 - 3x - 9 = 0 ]

8. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ a = 2, \quad b = -3, \quad c = -9 ] [ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 ]

9. Найдем корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{3 \pm 9}{4} ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{3 + 9}{4} = 3 ] [ x_2 = \frac{3 - 9}{4} = -\frac{3}{2} ]

1. Проверим оба корня на допустимость. У нас есть логарифмы, аргументы которых должны быть положительными:
   • ( x_1 = 3 ):
     • ( 2x - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5 > 0 )
     • ( x + 2 = 3 + 2 = 5 > 0 )
     • ( x + 1 = 3 + 1 = 4 > 0 ) Все условия выполняются.

• ( x_2 = -\frac{3}{2} ):
  • ( 2x - 1 = 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) - 1 = -3 - 1 = -4 < 0 ) Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому ( x_2 = -\frac{3}{2} ) не подходит.

Таким образом, единственный допустимый корень уравнения: [ x = 3 ]