Решите уравнение √х+6-√х-2=2 Пожалуйста!

Решим уравнение ( \sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2 ).

1. Переносим ( \sqrt{x - 2} ) в правую часть: [ \sqrt{x + 6} = \sqrt{x - 2} + 2 ]

2. Возводим обе стороны в квадрат: [ x + 6 = ( \sqrt{x - 2} + 2 )^2 ] [ x + 6 = (x - 2) + 4\sqrt{x - 2} + 4 ] [ x + 6 = x + 2 + 4\sqrt{x - 2} ]

3. Упрощаем: [ 6 - 2 = 4\sqrt{x - 2} ] [ 4 = 4\sqrt{x - 2} ] [ 1 = \sqrt{x - 2} ]

4. Возводим в квадрат снова: [ 1 = x - 2 ] [ x = 3 ]

5. Проверяем решение в исходном уравнении: [ \sqrt{3 + 6} - \sqrt{3 - 2} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 ]

Таким образом, решение уравнения: ( x = 3 ).

Для решения уравнения ( \sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2 ) начнём с того, что изолируем один из квадратных корней.

Перепишем уравнение:

[ \sqrt{x + 6} = \sqrt{x - 2} + 2 ]

Теперь возведём обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

[ (\sqrt{x + 6})^2 = (\sqrt{x - 2} + 2)^2 ]

Это даёт:

[ x + 6 = (x - 2) + 4\sqrt{x - 2} + 4 ]

Упрощая правую часть, получаем:

[ x + 6 = x + 2 + 4\sqrt{x - 2} ]

Теперь можем упростить уравнение, вычитая (x) из обеих сторон:

[ 6 = 2 + 4\sqrt{x - 2} ]

Выразим (4\sqrt{x - 2}):

[ 6 - 2 = 4\sqrt{x - 2} ] [ 4 = 4\sqrt{x - 2} ]

Теперь делим обе стороны на 4:

[ 1 = \sqrt{x - 2} ]

Возводим в квадрат:

[ 1^2 = x - 2 ] [ 1 = x - 2 ]

Теперь решим уравнение для (x):

[ x = 1 + 2 = 3 ]

Теперь проверим, не является ли найденное значение корнем, подставив его обратно в исходное уравнение:

Подставляем (x = 3):

[ \sqrt{3 + 6} - \sqrt{3 - 2} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 ]

Поскольку обе стороны равенства совпадают, (x = 3) является решением уравнения.

Таким образом, окончательный ответ:

[ x = 3 ]

Рассмотрим уравнение:

[ \sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2 ]

1. Обозначим переменные

Для удобства сделаем замену: [ a = \sqrt{x + 6}, \quad b = \sqrt{x - 2}. ] Тогда уравнение принимает вид: [ a - b = 2. ]

2. Выразим (a) через (b)

Из уравнения (a - b = 2) получаем: [ a = b + 2. ]

3. Возвращаемся к исходным корням

Поскольку мы знаем, что: [ a = \sqrt{x + 6}, \quad b = \sqrt{x - 2}, ] подставим (a = b + 2) в выражение для (a): [ \sqrt{x + 6} = \sqrt{x - 2} + 2. ]

4. Возводим обе части уравнения в квадрат

Чтобы избавиться от корней, возведем обе части в квадрат: [ (\sqrt{x + 6})^2 = (\sqrt{x - 2} + 2)^2. ]

Слева: [ (\sqrt{x + 6})^2 = x + 6. ]

Справа: [ (\sqrt{x - 2} + 2)^2 = (\sqrt{x - 2})^2 + 2 \cdot \sqrt{x - 2} \cdot 2 + 2^2 = (x - 2) + 4\sqrt{x - 2} + 4. ]

Итак, уравнение принимает вид: [ x + 6 = (x - 2) + 4\sqrt{x - 2} + 4. ]

5. Упростим уравнение

Сократим (x) с обеих сторон и упростим: [ 6 = -2 + 4 + 4\sqrt{x - 2}. ]

[ 6 = 2 + 4\sqrt{x - 2}. ]

Вычтем 2 из обеих сторон: [ 4 = 4\sqrt{x - 2}. ]

Разделим обе стороны на 4: [ 1 = \sqrt{x - 2}. ]

6. Возводим в квадрат снова

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: [ 1^2 = (x - 2). ]

[ 1 = x - 2. ]

Добавим 2 к обеим сторонам: [ x = 3. ]

7. Проверка

Подставим (x = 3) в исходное уравнение: [ \sqrt{3 + 6} - \sqrt{3 - 2} = 2. ]

Посчитаем каждую часть: [ \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3, \quad \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1. ]

Подставим: [ 3 - 1 = 2. ]

Верно! Значит, (x = 3) — это решение.

Ответ:

[ x = 3. ]