Решите уравнение х^4=(х-20)^2

Для решения уравнения ( x^4 = (x-20)^2 ) начнем с того, что раскроем квадрат в правой части:

[ x^4 = (x-20)^2 ] [ x^4 = x^2 - 40x + 400 ]

Теперь давайте перенесем все члены уравнения в левую сторону:

[ x^4 - x^2 + 40x - 400 = 0 ]

Чтобы упростить уравнение, сделаем замену ( y = x^2 ). Тогда ( x^4 = y^2 ), и уравнение примет вид:

[ y^2 - y + 40x - 400 = 0 ]

Теперь у нас есть уравнение относительно ( y ) и ( x ). Но, поскольку ( y = x^2 ), мы можем попытаться выразить ( x ) через ( y ) и подставить обратно. Однако, для упрощения вернемся к начальной замене и составим квадратное уравнение относительно ( y ):

[ y^2 - y + 40x - 400 = 0 ]

Теперь подставим ( y = x^2 ):

[ x^4 - x^2 + 40x - 400 = 0 ]

Разделим все члены уравнения на ( x^2 ) (при условии, что ( x \neq 0 )):

[ x^2 - 1 + \frac{40}{x} - \frac{400}{x^2} = 0 ]

Это уравнение сложно решить в общем виде, поэтому вернемся к более простому подходу. Мы попробуем искать корни уравнения через факторизацию:

[ x^4 - x^2 + 40x - 400 = 0 ]

Сделаем замену обратно ( y = x^2 ):

[ y^2 - y + 40x - 400 = 0 ]

Выразим ( x ) через ( y ):

[ x = \frac{y - 400}{40} ]

Теперь подставим ( y = x^2 ):

[ x^2 = \left(\frac{x^2 - 400}{40}\right)^2 ]

Это уравнение тоже сложно решить напрямую, поэтому перепроверим начальные шаги. На самом деле, лучше всего вернуться к исходному уравнению:

[ x^4 = (x-20)^2 ] [ x^4 = x^2 - 40x + 400 ] [ x^4 - x^2 + 40x - 400 = 0 ]

Теперь факторизуем:

[ (x^2 - 16x + 64)(x^2 + 16x + 6.25) = 0 ]

Решим каждый множитель отдельно, получим:

[ x^2 - 16x + 64 = 0 ] [ (x-8)^2 = 0 ] [ x = 8 ]

[ x^2 + 16x + 6.25 = 0 ] [ (x + 8)^2 = 0 ] [ x = -8 ]

Таким образом, корни уравнения ( x = 8 ) и ( x = -8 ).

x=10

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его к виду:

x^4 = (x-20)^2 x^4 = x^2 - 40x + 400

Теперь приведем уравнение к виду, где все члены находятся на одной стороне:

x^4 - x^2 + 40x - 400 = 0

Далее проведем замену переменной, например, y = x^2:

y^2 - y + 40√y - 400 = 0

Теперь это уравнение квадратного типа, которое можно решить с помощью дискриминанта. После нахождения корней y, найдем соответствующие им значения x, подставив их обратно в уравнение x^4 = (x-20)^2.

Таким образом, найдем все корни уравнения их^4=(х-20)^2.