Решите уравнение: х^4=(2х-8)^2.Пожалуйста помогите)))

Конечно, давайте решим уравнение ( x^4 = (2x - 8)^2 ).

1. Распишем уравнение: [ x^4 = (2x - 8)^2 ]

2. Возьмем корень квадратный от обеих частей уравнения. Поскольку мы работаем с уравнением, в котором обе части неотрицательны, это корректно: [ x^2 = \pm (2x - 8) ]

   Таким образом, у нас получается два уравнения: [ x^2 = 2x - 8 ] и [ x^2 = -(2x - 8) ] или [ x^2 = -2x + 8 ]

3. Рассмотрим первое уравнение ( x^2 = 2x - 8 ): [ x^2 - 2x + 8 = 0 ]

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28 ]

   Поскольку дискриминант отрицателен ((D < 0)), это уравнение не имеет действительных корней.

4. Рассмотрим второе уравнение ( x^2 = -2x + 8 ): [ x^2 + 2x - 8 = 0 ]

   Решим это квадратное уравнение также с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 ]

   Дискриминант положителен ((D > 0)), значит уравнение имеет два действительных корня: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} ]

   Найдем оба корня: [ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 ] [ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 ]

5. Проверим полученные корни в исходном уравнении ( x^4 = (2x - 8)^2 ):

   Для ( x = 2 ): [ x^4 = 2^4 = 16 ] [ (2x - 8)^2 = (2 \cdot 2 - 8)^2 = (-4)^2 = 16 ] Уравнение выполняется.

   Для ( x = -4 ): [ x^4 = (-4)^4 = 256 ] [ (2x - 8)^2 = (2 \cdot (-4) - 8)^2 = (-16)^2 = 256 ] Уравнение также выполняется.

Таким образом, уравнение ( x^4 = (2x - 8)^2 ) имеет два действительных корня: [ x = 2 ] и [ x = -4 ]

Для решения данного уравнения необходимо привести его к квадратному виду. Раскроем квадрат в правой части уравнения: x^4 = (2x - 8)^2 x^4 = 4x^2 - 32x + 64

Теперь приведем уравнение к виду x^4 - 4x^2 + 32x - 64 = 0 Заменим переменную x^2 = t Получим уравнение t^2 - 4t + 32 - 64 = 0 t^2 - 4t - 32 = 0

Далее решим это квадратное уравнение относительно t: D = (-4)^2 - 41(-32) = 16 + 128 = 144 t1,2 = (4 ± √144) / 2 = (4 ± 12) / 2 t1 = 8, t2 = -4

Подставляем обратно x^2 = t: x^2 = 8 => x = ±√8 = ±2√2 x^2 = -4 => нет решения

Итак, у уравнения два корня: x = 2√2 и x = -2√2.