Решите уравнение f'(x)/g'(x)=0 ,если f(x)= 1/3x^3-4x ;g(x)= корень их x

Для решения уравнения f'(x)/g'(x) = 0 нужно найти производные функций f(x) и g(x), затем подставить их в уравнение и найти значение x, при котором равенство будет выполняться.

Для решения уравнения (\frac{f'(x)}{g'(x)} = 0), где (f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x) и (g(x) = \sqrt{x}), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции (f(x)):

   [ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x ]

   Производная (f'(x)) будет:

   [ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) - \frac{d}{dx}(4x) = x^2 - 4 ]

2. Найдем производную функции (g(x)):

   [ g(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} ]

   Производная (g'(x)) будет:

   [ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} ]

3. Подставим производные в исходное уравнение:

   Уравнение (\frac{f'(x)}{g'(x)} = 0) перепишется как:

   [ \frac{x^2 - 4}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = 0 ]

   Это уравнение можно упростить:

   [ 2\sqrt{x}(x^2 - 4) = 0 ]

   Для выполнения равенства нулю произведение должно иметь хотя бы один нулевой множитель.

4. Решим уравнение:

   (2\sqrt{x} = 0) невозможно, так как (\sqrt{x} \geq 0) и не равно нулю для (x > 0).

   Следовательно, решаем (x^2 - 4 = 0):

   [ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0 ]

   Отсюда (x - 2 = 0) или (x + 2 = 0).

   Решения:

   [ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 ]

   Однако, поскольку функция (g(x) = \sqrt{x}) определена только для (x \geq 0), то (x = -2) не подходит.

5. Ответ:

   Уравнение (\frac{f'(x)}{g'(x)} = 0) имеет решение (x = 2).

Для начала найдем производные функций f(x) и g(x):

f'(x) = x^2 - 4 g'(x) = 1 / (2 * √x)

Теперь подставим эти значения в уравнение f'(x) / g'(x) = 0:

(x^2 - 4) / (1 / (2 √x)) = 0 (x^2 - 4) (2 * √x) = 0 2x^2√x - 8√x = 0 2x^2 - 8 = 0 x^2 - 4 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0

Таким образом, уравнение f'(x) / g'(x) = 0 имеет два решения: x = 2 и x = -2.