Решите уравнение: а) x^2+x-42=0 б) -5x^2+23x+10=0 в)7x^2+x+1=0 г) 16x^2+8x+1=0 2.при каких значениях...

Чтобы решить квадратные уравнения, мы будем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

1. Решим каждое из уравнений:

а) (x^2 + x - 42 = 0)

Коэффициенты: (a = 1), (b = 1), (c = -42).

Дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 ]

Корни: [ x = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 13}{2} ]

[ x_1 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6 ] [ x_2 = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7 ]

Корни: (x = 6) и (x = -7).

б) (-5x^2 + 23x + 10 = 0)

Коэффициенты: (a = -5), (b = 23), (c = 10).

Дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot (-5) \cdot 10 = 529 + 200 = 729 ]

Корни: [ x = \frac{-23 \pm \sqrt{729}}{2 \cdot (-5)} = \frac{-23 \pm 27}{-10} ]

[ x_1 = \frac{-23 + 27}{-10} = \frac{4}{-10} = -0.4 ] [ x_2 = \frac{-23 - 27}{-10} = \frac{-50}{-10} = 5 ]

Корни: (x = -0.4) и (x = 5).

в) (7x^2 + x + 1 = 0)

Коэффициенты: (a = 7), (b = 1), (c = 1).

Дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 1 - 28 = -27 ]

Так как дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет вещественных корней.

г) (16x^2 + 8x + 1 = 0)

Коэффициенты: (a = 16), (b = 8), (c = 1).

Дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0 ]

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один (двукратный) корень: [ x = \frac{-8}{2 \cdot 16} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4} ]

Корень: (x = -\frac{1}{4}).

1. Уравнение (5x^2 + px + 4 = 0) имеет один дополнительный корень, если дискриминант равен нулю (тогда корень будет двукратным).

Дискриминант: [ D = p^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = p^2 - 80 ]

Чтобы у уравнения был один корень, дискриминант должен быть равен нулю: [ p^2 - 80 = 0 ] [ p^2 = 80 ] [ p = \pm \sqrt{80} = \pm 4\sqrt{5} ]

Таким образом, уравнение (5x^2 + px + 4 = 0) имеет один двукратный корень при (p = 4\sqrt{5}) или (p = -4\sqrt{5}).

а) Для решения уравнения x^2+x-42=0, сначала находим два числа, которые умножаются на -42 и складываются в 1. Эти числа - 7 и 6. Тогда уравнение преобразуется в (x+7)(x-6)=0. Отсюда получаем два корня: x=-7 и x=6.

б) Для решения уравнения -5x^2+23x+10=0, сначала находим два числа, которые умножаются на -50 и складываются в 23. Эти числа - 25 и 2. Тогда уравнение преобразуется в (-5x+2)(x+5)=0. Отсюда получаем два корня: x=2/5 и x=-5.

в) Для решения уравнения 7x^2+x+1=0, можно воспользоваться методом дискриминанта. Дискриминант D=b^2-4ac=1-471=-27. Так как D