Решите уравнение 4sin^2 x=3

sin x = ±√(3/4) = ±√3/2

x = π/3 + 2πn or x = 2π/3 + 2πn, where n is an integer.

Для того чтобы решить уравнение 4sin^2(x) = 3, сначала преобразуем его, используя тригонометрическую тождество sin^2(x) = (1-cos(2x))/2.

Таким образом, уравнение примет вид: 4(1-cos(2x))/2 = 3, 2(1-cos(2x)) = 3, 2 - 2cos(2x) = 3, -2cos(2x) = 1, cos(2x) = -1/2.

Теперь найдем все решения данного уравнения. Так как косинус является периодической функцией, мы можем воспользоваться его графиком и найти значения углов, при которых он равен -1/2.

По графику косинуса мы видим, что значение -1/2 достигается при углах 2π/3 и 4π/3. Таким образом, получаем два решения для уравнения cos(2x) = -1/2:

2x = 2π/3 + 2πk, где k - целое число, или 2x = 4π/3 + 2πk, где k - целое число.

Теперь найдем значения x: x = π/3 + πk, или x = 2π/3 + πk.

Таким образом, решения уравнения 4sin^2(x) = 3 равны x = π/3 + πk или x = 2π/3 + πk, где k - целое число.

Чтобы решить уравнение (4\sin^2 x = 3), следуйте следующим шагам:

1. Упростите уравнение:

   Уравнение (4\sin^2 x = 3) можно переписать как:

   [ \sin^2 x = \frac{3}{4} ]

2. Найдите значение (\sin x):

   Поскольку (\sin^2 x = \left(\sin x\right)^2), мы можем взять квадратный корень из обеих сторон уравнения:

   [ \sin x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} ]

   Это дает нам:

   [ \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} ]

3. Решите для (x):

   Теперь нам нужно найти (x), для которого (\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}) и (\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}).

   • (\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}) соответствует углам (\frac{\pi}{3}) и (\frac{2\pi}{3}) в пределах одного круга (от (0) до (2\pi)).

   • (\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}) соответствует углам (\frac{4\pi}{3}) и (\frac{5\pi}{3}).

4. Запишите общее решение:

   Поскольку синус имеет период (2\pi), общее решение будет выглядеть следующим образом:

   • Для (\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}):

     [ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi ]

   • Для (\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}):

     [ x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi ]

   Здесь (k) — любое целое число, так как синус — периодическая функция.

Таким образом, общее решение уравнения (4\sin^2 x = 3) выражается множеством значений (x), которое включает:

[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi ]

где (k) — любое целое число.