Решите уравнение 3/х^2-9 = 1/9-6х+х^2 + 3/2х^2+6х

Рассмотрим уравнение:

[ \frac{3}{x^2 - 9} = \frac{1}{9 - 6x + x^2} + \frac{3}{2x^2 + 6x}. ]

Шаг 1. Найдём ОДЗ (область допустимых значений)

Для начала определим, при каких значениях (x) выражение имеет смысл. ОДЗ зависит от знаменателей: знаменатели не должны быть равны нулю.

1. Первый знаменатель: (x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 9 \Rightarrow x \neq \pm 3).
2. Второй знаменатель: (9 - 6x + x^2 \neq 0). Это квадратный трёхчлен: [ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3. ]
3. Третий знаменатель: (2x^2 + 6x \neq 0 \Rightarrow 2x(x + 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq -3).

Объединяя все условия, получаем, что (x \neq 3), (x \neq -3), (x \neq 0).

Шаг 2. Преобразуем уравнение

Теперь вернёмся к уравнению:

[ \frac{3}{x^2 - 9} = \frac{1}{9 - 6x + x^2} + \frac{3}{2x^2 + 6x}. ]

Заметим, что (x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)), (9 - 6x + x^2 = (x - 3)^2), а (2x^2 + 6x = 2x(x + 3)). Подставим эти разложения в уравнение:

[ \frac{3}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{(x - 3)^2} + \frac{3}{2x(x + 3)}. ]

Шаг 3. Найдём общий знаменатель

Общий знаменатель для всех дробей — это (2x(x - 3)^2(x + 3)). Преобразуем каждую дробь так, чтобы знаменатель был общий.

1. Первая дробь: [ \frac{3}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3 \cdot 2x(x - 3)}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = \frac{6x}{2x(x - 3)^2(x + 3)}. ]

2. Вторая дробь: [ \frac{1}{(x - 3)^2} = \frac{1 \cdot 2x(x + 3)}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = \frac{2x(x + 3)}{2x(x - 3)^2(x + 3)}. ]

3. Третья дробь: [ \frac{3}{2x(x + 3)} = \frac{3 \cdot (x - 3)^2}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = \frac{3(x - 3)^2}{2x(x - 3)^2(x + 3)}. ]

Подставим все дроби в уравнение:

[ \frac{6x}{2x(x - 3)^2(x + 3)} = \frac{2x(x + 3)}{2x(x - 3)^2(x + 3)} + \frac{3(x - 3)^2}{2x(x - 3)^2(x + 3)}. ]

Шаг 4. Упростим уравнение

У всех дробей теперь одинаковый знаменатель (2x(x - 3)^2(x + 3)), поэтому можно просто приравнять числители:

[ 6x = 2x(x + 3) + 3(x - 3)^2. ]

Шаг 5. Раскроем скобки

Раскроем скобки в правой части:

1. (2x(x + 3) = 2x^2 + 6x),
2. ((x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9), поэтому (3(x - 3)^2 = 3(x^2 - 6x + 9) = 3x^2 - 18x + 27).

Подставим это в уравнение:

[ 6x = (2x^2 + 6x) + (3x^2 - 18x + 27). ]

Упростим правую часть:

[ 6x = 2x^2 + 6x + 3x^2 - 18x + 27. ]

Сложим подобные члены:

[ 6x = 5x^2 - 12x + 27. ]

Шаг 6. Перенесём всё в одну сторону

Перенесём всё в одну сторону уравнения:

[ 5x^2 - 12x + 27 - 6x = 0 \Rightarrow 5x^2 - 18x + 27 = 0. ]

Шаг 7. Решим квадратное уравнение

Итак, у нас получилось квадратное уравнение:

[ 5x^2 - 18x + 27 = 0. ]

Найдём дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 27 = 324 - 540 = -216. ]

Дискриминант отрицателен ((D < 0)), поэтому уравнение не имеет действительных решений.

Шаг 8. Ответ

Уравнение не имеет решений в области действительных чисел. Ответ: нет решений.

Для решения уравнения ( \frac{3}{x^2} - 9 = \frac{1}{9} - 6x + x^2 + \frac{3}{2x^2} + 6x ), начнем с упрощения правой части.

1. Упростим правую часть: [ -6x + 6x = 0 ] Таким образом, у нас останется: [ x^2 + \frac{1}{9} + \frac{3}{2x^2} ]

2. Перепишем уравнение: [ \frac{3}{x^2} - 9 = x^2 + \frac{1}{9} + \frac{3}{2x^2} ]

3. Приведем все члены уравнения к общему знаменателю, который будет ( 18x^2 ): [ \frac{54}{18x^2} - \frac{162x^2}{18x^2} = \frac{18x^4}{18x^2} + \frac{2x^2}{18} + \frac{27}{18x^2} ]

4. Умножим все уравнение на ( 18x^2 ) (при условии, что ( x \neq 0 )): [ 54 - 162x^2 = 18x^4 + 2x^2 + 27 ]

5. Переносим все в одну сторону: [ 18x^4 + (2 + 162)x^2 + (27 + 54) = 0 ] или [ 18x^4 + 164x^2 + 81 = 0 ]

6. Обозначим ( y = x^2 ). Тогда уравнение примет вид: [ 18y^2 + 164y + 81 = 0 ]

7. Используем дискриминант для решения квадратного уравнения: [ D = b^2 - 4ac = 164^2 - 4 \cdot 18 \cdot 81 ] Вычисляем: [ D = 26896 - 5832 = 21064 ]

8. Теперь находим корни уравнения: [ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-164 \pm \sqrt{21064}}{2 \cdot 18} ] Корень из дискриминанта: [ \sqrt{21064} = 145 ] Следовательно: [ y = \frac{-164 \pm 145}{36} ]

9. Находим два значения для ( y ):

   • Первое: [ y_1 = \frac{-164 + 145}{36} = \frac{-19}{36} ]
   • Второе: [ y_2 = \frac{-164 - 145}{36} = \frac{-309}{36} ]

10. Оба значения ( y_1 ) и ( y_2 ) отрицательны, что означает, что нет действительных корней для ( x^2 ). Таким образом, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Уравнение не имеет действительных решений.