Решите уравнение 2sin^2x+3cosx-3=0 и укажите корни удовлетворяющие условию sinx<0

Для решения уравнения 2sin^2(x) + 3cos(x) - 3 = 0, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами и преобразованиями.

Заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x) в уравнении:

2(1 - cos^2(x)) + 3cos(x) - 3 = 0 2 - 2cos^2(x) + 3cos(x) - 3 = 0 -2cos^2(x) + 3cos(x) - 1 = 0 2cos^2(x) - 3cos(x) + 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его с помощью дискриминанта:

D = (-3)^2 - 421 = 9 - 8 = 1

cos(x) = (3 ± √1) / 4 cos(x) = (3 ± 1) / 4 cos(x) = 1 или cos(x) = 1/2

Так как sin(x) < 0, то sin(x) отрицателен в третьем и четвертом квадрантах.

cos(x) = 1 соответствует cos(x) > 0, что означает, что корень не подходит.

cos(x) = 1/2 соответствует углу x = π/3 или x = 5π/3. При этом sin(π/3) = √3/2 > 0, а sin(5π/3) = -√3/2 < 0.

Таким образом, корень уравнения, который удовлетворяет условию sin(x) < 0, это x = 5π/3.

Для решения уравнения (2\sin^2x + 3\cos x - 3 = 0) мы можем использовать тригонометрическое тождество (\sin^2 x = 1 - \cos^2 x). Подставим это тождество в уравнение:

[ 2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0 ]

Упростим выражение:

[ 2 - 2\cos^2 x + 3\cos x - 3 = 0 ]

[ -2\cos^2 x + 3\cos x - 1 = 0 ]

Умножим уравнение на (-1), чтобы облегчить решение:

[ 2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0 ]

Это квадратное уравнение относительно (\cos x). Обозначим (y = \cos x). Тогда уравнение становится:

[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 ]

Корни уравнения:

[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{4} ]

[ y_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} ]

Теперь вернемся к (\cos x):

1. (\cos x = 1)
2. (\cos x = \frac{1}{2})

Для (\cos x = 1), имеем (x = 2\pi k), где (k) — целое число.

Для (\cos x = \frac{1}{2}), имеются решения:

[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k ]

где (k) — целое число.

Теперь найдем те из этих решений, которые удовлетворяют условию (\sin x < 0).

1. Для (\cos x = 1) ((x = 2\pi k)), (\sin x = 0). Эти решения не удовлетворяют условию (\sin x < 0).

2. Для (\cos x = \frac{1}{2}), (\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}).

   • (x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k): здесь (\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}), что не удовлетворяет (\sin x < 0).
   • (x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k): здесь (\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}), что удовлетворяет (\sin x < 0).

Таким образом, решения, удовлетворяющие условию (\sin x < 0), имеют вид:

[ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k ]

где (k) — целое число.