Решите уравнение 2sin^2x=cos ((3pi/2) +x) и укажите корни, принадлежащие промежутку [-3pi;-pi]

Данное уравнение можно решить следующим образом:

2sin^2x = cos((3pi/2) + x)

2(1 - cos^2x) = -sin(x)

2 - 2cos^2x = -sin(x)

2cos^2x + sin(x) - 2 = 0

Далее, применяя формулу тригонометрической замены sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2) и cos^2(x/2) = (1 + cosx)/2, можно получить следующее уравнение:

4cos^2(x/2)sin(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2) - 2 = 0

Упрощаем:

2cos(x/2)(2cos(x/2)sin(x/2) + sin(x/2)) = 2

2cos(x/2)(2sin(x/2) + 1) = 2

cos(x/2)(2sin(x/2) + 1) = 1

cos(x/2) = 1 / (2sin(x/2) + 1)

cos(x/2) = 1 / (2sin(x/2) + 1)

Теперь найдем корни уравнения и выберем те, которые принадлежат промежутку [-3pi; -pi].

Для решения уравнения (2\sin^2x = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)) начнем с преобразования правой части уравнения. Используем формулу приведения для косинуса:

[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x ]

Таким образом, уравнение приобретает вид:

[ 2\sin^2 x = \sin x ]

Перенесем (\sin x) влево:

[ 2\sin^2 x - \sin x = 0 ]

Вынесем (\sin x) за скобки:

[ \sin x (2\sin x - 1) = 0 ]

Это уравнение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас два уравнения:

1. (\sin x = 0)
2. (2\sin x - 1 = 0)

Решим каждое из них:

1. (\sin x = 0)

   (\sin x = 0) при (x = k\pi), где (k) — целое число.

2. (2\sin x - 1 = 0)

   Решим уравнение:

   [ 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} ]

   (\sin x = \frac{1}{2}) при (x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi) или (x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi), где (k) — целое число.

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку ([-3\pi; -\pi]).

1. Для (\sin x = 0), то есть (x = k\pi), найдем (k), чтобы (x) попал в указанный промежуток:

   (-3\pi \leq k\pi \leq -\pi)

   (-3 \leq k \leq -1)

   Таким образом, (k = -3, -2, -1), что дает (x = -3\pi, -2\pi, -\pi).

2. Для (\sin x = \frac{1}{2}):

   [ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ]

   Найдем (k), чтобы (x) попал в промежуток ([-3\pi; -\pi]).

   Для (x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi):

   [ -3\pi \leq \frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq -\pi ]

   Решая эту систему неравенств, получаем:

   (-\frac{19}{12} \leq k \leq -\frac{7}{12})

   Поскольку (k) — целое число, подходящих значений (k) нет.

   Для (x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi):

   [ -3\pi \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq -\pi ]

   Решая эту систему неравенств, получаем:

   (-\frac{23}{12} \leq k \leq -\frac{11}{12})

   Поскольку (k) — целое число, подходящих значений (k) также нет.

Итак, корни уравнения, принадлежащие промежутку ([-3\pi; -\pi]), это (x = -3\pi, -2\pi, -\pi).