Решите уравнение (1/sin^2x)+(1/cos((7п/2)+x)))=2
Очень срочно!
Осталось 20 минут!
Решите уравнение (1/sin^2x)+(1/cos((7п/2)+x)))=2
Очень срочно!
Осталось 20 минут!
Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться заменой тригонометрических функций. Обратим внимание, что нам дана сумма обратных квадратов синуса и косинуса. Мы можем заменить sin^2x на 1-cos^2x, чтобы свести уравнение к одной тригонометрической функции.
Итак, у нас есть уравнение: (1/(1-cos^2x)) + (1/cos((7п/2)+x)) = 2
Далее мы можем преобразить это уравнение, умножив обе части на cos^2x, чтобы избавиться от знаменателя:
cos^2x + 1/(cos((7п/2)+x)) = 2cos^2x
Теперь можем заменить cos((7п/2)+x) на -sin(x), так как cos(π/2 + x) = -sin(x):
cos^2x - 1/sin(x) = 2cos^2x
Преобразуем уравнение, перенеся все члены в одну сторону:
2cos^2x - cos^2x + 1/sin(x) = 0
cos^2x + 1/sin(x) = 0
cos^2x + cos(x)/sin(x) = 0
cos(x)(cos(x) + 1/sin(x)) = 0
cos(x)(cos^2x + 1)/sin(x) = 0
cos(x)(1 - sin^2x)/sin(x) = 0
cos(x)cos^2x/sin(x) = 0
cos^3x/sin(x) = 0
Таким образом, мы получили уравнение cos^3x/sin(x) = 0, которое можно решить, учитывая, что cos^3x = (cos^2x)cos(x) = (1-sin^2x)cos(x).
Получается (1-sin^2x)cos(x)/sin(x) = 0
(1-sin^2x) = 0 или cos(x)/sin(x) = 0
sin^2x = 1 или tg(x) = 0
Отсюда x = πn, где n - целое число.
Таким образом, решением уравнения (1/sin^2x)+(1/cos((7п/2)+x)))=2 является множество всех x = πn, где n - целое число.
Для решения данного уравнения начнем с преобразования уравнения:
[ \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos \left(\frac{7\pi}{2} + x\right)} = 2. ]
Для начала рассмотрим второе слагаемое. Заметим, что (\cos \left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin(x)). Это следует из свойства периодичности функции косинуса и сдвигов на (\frac{\pi}{2}):
[ \cos \left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin(x), ]
так как (\frac{7\pi}{2} + x) - это просто (2\pi) (полный оборот) плюс (\frac{\pi}{2} + x), что соответствует функции синуса.
Теперь заменяем это в исходное уравнение:
[ \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin x} = 2. ]
Умножим все члены уравнения на (\sin^2 x) (при условии, что (\sin x \neq 0)):
[ 1 + \sin x = 2\sin^2 x. ]
Переносим все члены в одну сторону:
[ 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0. ]
Решаем квадратное уравнение относительно (\sin x). Пусть (t = \sin x), тогда:
[ 2t^2 - t - 1 = 0. ]
Находим дискриминант:
[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9. ]
Корни уравнения:
[ t_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}, ] [ t_1 = 1, ] [ t_2 = -\frac{1}{2}. ]
Теперь проверим, при каких (x) выполняется ( \sin x = 1 ) и ( \sin x = -\frac{1}{2} ):
Таким образом, решениями уравнения являются:
[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \, x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \, x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]
Для решения данного уравнения необходимо использовать тригонометрические тождества и методы преобразования уравнений. Я рекомендую обратиться к учебнику по алгебре или к онлайн-ресурсам для подробного решения данного уравнения.
