Решите уравнение 1/(5-x)+90/(25-x2)=(4-x)/(5+x)

Для решения данного уравнения сначала приведем его к общему знаменателю и упростим:

1/(5-x) + 90/(25-x^2) = (4-x)/(5+x)

5+x = (5-x)(25-x^2) + 90(5-x) 5+x = 125 - 5x - 25x + x^3 + 450 - 90x 5+x = x^3 - 120x + 575

x^3 - 121x + 570 = 0

Далее решаем данное уравнение методом подбора корней. Подставляем различные значения для x и проверяем, равенство уравнения. Например, при x=10:

10^3 - 121*10 + 570 = 1000 - 1210 + 570 = -210

Таким образом, x=10 не является корнем уравнения. Продолжаем подбор корней до тех пор, пока не найдем корень уравнения.

Для решения данного уравнения начнем с его анализа:

Уравнение:

[ \frac{1}{5-x} + \frac{90}{25-x^2} = \frac{4-x}{5+x} ]

Первое, что следует заметить, это то, что (25-x^2) можно представить как разность квадратов:

[ 25-x^2 = (5-x)(5+x) ]

Это позволяет упростить второй член уравнения:

[ \frac{90}{25-x^2} = \frac{90}{(5-x)(5+x)} ]

Теперь уравнение принимает вид:

[ \frac{1}{5-x} + \frac{90}{(5-x)(5+x)} = \frac{4-x}{5+x} ]

Для удобства решения приведем все члены уравнения к общему знаменателю, которым является ((5-x)(5+x)):

Левая часть уравнения:

[ \frac{1}{5-x} = \frac{5+x}{(5-x)(5+x)} ]

Теперь левая часть уравнения:

[ \frac{5+x}{(5-x)(5+x)} + \frac{90}{(5-x)(5+x)} ]

Объединяем дроби в левой части:

[ \frac{5+x+90}{(5-x)(5+x)} = \frac{95+x}{(5-x)(5+x)} ]

Теперь уравнение имеет вид:

[ \frac{95+x}{(5-x)(5+x)} = \frac{4-x}{5+x} ]

Умножим обе части уравнения на ((5-x)(5+x)) для избавления от знаменателей:

[ 95+x = (4-x)(5-x) ]

Раскроем скобки в правой части:

[ 95+x = 20 - 4x - 5x + x^2 ]

Упрощаем правую часть:

[ 95+x = x^2 - 9x + 20 ]

Переносим все члены в одну часть уравнения:

[ x^2 - 9x + 20 - x - 95 = 0 ]

[ x^2 - 10x - 75 = 0 ]

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или, если возможно, разложив на множители. Найдем дискриминант:

[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75) = 100 + 300 = 400 ]

Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{400}}{2} ]

[ x_{1,2} = \frac{10 \pm 20}{2} ]

Получаем корни:

[ x_1 = \frac{30}{2} = 15 ]

[ x_2 = \frac{-10}{2} = -5 ]

Однако стоит проверить, не обращают ли найденные значения знаменатели в ноль:

1. (x = 15):

   • (5-x = 5-15 = -10 \neq 0)
   • (5+x = 5+15 = 20 \neq 0)

2. (x = -5):

   • (5-x = 5-(-5) = 10 \neq 0)
   • (5+x = 5+(-5) = 0)

Таким образом, (x = -5) приводит к нулю в знаменателе в правой части уравнения, что недопустимо.

Следовательно, единственным решением уравнения является (x = 15).