Решите уравнения: 1) 2cos (x/2)=1+cos x 2)sin (pi/2-3x)cos2x-1=sin3xcos(3pi/2-2x) Упростите выражение:...

1) Начнем с первого уравнения: 2cos(x/2) = 1 + cos(x). Раскроем косинус угла деленного на 2: 2cos(x/2) = 2cos^2(x/2) - 1. Подставим это обратно в уравнение: 2cos^2(x/2) - 1 = 1 + cos(x). Далее преобразуем уравнение: 2cos^2(x/2) - cos(x) - 2 = 0. Полученное квадратное уравнение решаем относительно cos(x/2).

2) Перейдем ко второму уравнению: sin(pi/2-3x)cos(2x) - 1 = sin(3x)cos(3pi/2-2x). Раскроем синус разности: cos(3x)cos(2x) - 1 = sin(3x)sin(2x). Преобразуем правую часть: sin(3x)sin(2x) = 1/2 [cos(x) - cos(5x)]. Подставим это обратно в уравнение: cos(3x)cos(2x) - 1 = 1/2 [cos(x) - cos(5x)]. Продолжим упрощение и решение уравнения.

3) Наконец, упростим выражение: (sinA - sin3A) / (cosA - cosA) (1 - cos4A). Сначала упростим числитель: sinA - sin3A = sinA - 3sinA = -2sinA. Затем упростим знаменатель: cosA - cosA = 0. Итак, выражение примет вид: -2sinA / 0 (1 - cos4A). Деление на ноль невозможно, поэтому это выражение не имеет определенного значения.

1) x=2πn, x=4πn 2) x=π/6+πn, x=π/4+2πn

(SINA—SIN3A)/(COSA—COSA)*(1—COS4A) = 2sin(2A)sin(3A)sin(4A)

Конечно, давайте разберём решение каждого уравнения и упрощение выражения.

Уравнение 1: (2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 1 + \cos x)

Для начала упростим правую часть уравнения. Используем формулу удвоенного угла для косинуса: [ \cos x = 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) - 1 ]

Теперь подставим эту формулу в уравнение: [ 2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 1 + 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) - 1 ]

Упростим правую часть: [ 2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) ]

Разделим обе части на 2: [ \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) ]

Перенесем всё в одну часть уравнения: [ \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right) - \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0 ]

Вынесем (\cos \left( \frac{x}{2} \right)) за скобки: [ \cos \left( \frac{x}{2} \right) \left( \cos \left( \frac{x}{2} \right) - 1 \right) = 0 ]

Отсюда получаем два решения:

1. (\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0)
2. (\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 1)

Рассмотрим оба случая:

1. (\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 0) [ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad (k \in \mathbb{Z}) ] [ x = \pi + 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

2. (\cos \left( \frac{x}{2} \right) = 1) [ \frac{x}{2} = 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}) ] [ x = 4\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

Итак, решения уравнения: [ x = \pi + 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}) ] [ x = 4\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

Уравнение 2: (\sin \left( \frac{\pi}{2} - 3x \right) \cos 2x - 1 = \sin 3x \cos \left( \frac{3\pi}{2} - 2x \right))

Используем тригонометрические формулы:

1. (\sin \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta)
2. (\cos \left( \frac{3\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta)

Подставим эти формулы: [ \cos (3x) \cos(2x) - 1 = \sin(3x) \sin(2x) ]

Используем формулу произведения синуса и косинуса: [ \cos(3x) \cos(2x) = \frac{1}{2} \left( \cos(x) + \cos(5x) \right) ] [ \sin(3x) \sin(2x) = \frac{1}{2} \left( \cos(x) - \cos(5x) \right) ]

Подставим: [ \frac{1}{2} \left( \cos(x) + \cos(5x) \right) - 1 = \frac{1}{2} \left( \cos(x) - \cos(5x) \right) ]

Умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей: [ \cos(x) + \cos(5x) - 2 = \cos(x) - \cos(5x) ]

Перенесем всё в одну часть: [ \cos(x) + \cos(5x) - 2 - \cos(x) + \cos(5x) = 0 ] [ 2 \cos(5x) - 2 = 0 ] [ \cos(5x) = 1 ]

Рассмотрим, когда (\cos(5x) = 1): [ 5x = 2\pi k \quad (k \in \mathbb{Z}) ] [ x = \frac{2\pi k}{5} \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

Итак, решения уравнения: [ x = \frac{2\pi k}{5} \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

Упрощение выражения: (\frac{\sin A - \sin 3A}{\cos A - \cos A} \cdot (1 - \cos 4A))

Сначала упростим числитель: [ \sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A ] [ \sin A - \sin 3A = \sin A - (3 \sin A - 4 \sin^3 A) = -2 \sin A + 4 \sin^3 A ]

Теперь знаменатель: [ \cos A - \cos A = 0 ]

Выражение принимает вид: [ \frac{-2 \sin A + 4 \sin^3 A}{0} \cdot (1 - \cos 4A) ]

На этом этапе видно, что знаменатель равен нулю, что делает выражение неопределённым (деление на ноль невозможно). Поэтому выражение не имеет смысла в данной форме.