Решите систему уравнений {x+y=2, { 2x^2+xy+y^2=8.
Решите систему уравнений {x+y=2, { 2x^2+xy+y^2=8.
Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания.
Подставим найденные значения x обратно в первое уравнение: 1) При x = 2: y = 2 - 2 = 0 2) При x = -2: y = 2 - (-2) = 4
Итак, получаем два решения системы уравнений: 1) x = 2, y = 0 2) x = -2, y = 4
Подставим найденные значения x обратно в первое уравнение: 1) При x = 2: y = 2 - 2 = 0 2) При x = -2: y = 2 - (-2) = 4
Итак, получаем два решения системы уравнений: 1) x = 2, y = 0 2) x = -2, y = 4
Таким образом, система уравнений имеет два решения: (2, 0) и (-2, 4).
Чтобы решить данную систему уравнений, состоящую из линейного и квадратичного уравнений, можно использовать подстановку. Из первого уравнения выразим одну переменную через другую:
[ x + y = 2 ] [ y = 2 - x ]
Теперь подставим это выражение для ( y ) во второе уравнение: [ 2x^2 + x(2-x) + (2-x)^2 = 8 ]
Раскроем скобки и упростим уравнение: [ 2x^2 + 2x - x^2 + 4 - 4x + x^2 = 8 ] [ 2x^2 - 2x + 4 = 8 ]
Перенесем все члены на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: [ 2x^2 - 2x - 4 = 0 ]
Делим все члены уравнения на 2 для упрощения: [ x^2 - x - 2 = 0 ]
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} ]
Получаем два корня: [ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 ] [ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 ]
Теперь подставим каждое значение ( x ) в выражение ( y = 2 - x ) для нахождения соответствующих значений ( y ):
Таким образом, система уравнений имеет два решения: [ (x, y) = (2, 0) ] [ (x, y) = (-1, 3) ]
