Решите систему уравнений x+3y=11 2x+y^2=14

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения.

1. Метод подстановки: Из первого уравнения выразим x через y: x = 11 - 3y Подставим полученное выражение для x во второе уравнение: 2(11 - 3y) + y^2 = 14 22 - 6y + y^2 = 14 y^2 - 6y + 8 = 0 (y - 4)(y - 2) = 0 y1 = 4, y2 = 2

Подставим найденные значения y обратно в первое уравнение: x1 = 11 - 34 = -1 x2 = 11 - 32 = 5

Таким образом, система уравнений имеет два решения: (-1, 4) и (5, 2).

1. Метод исключения: Умножим первое уравнение на 2 и выразим x через y: 2x + 6y = 22 x = 22 - 6y Подставим полученное выражение для x во второе уравнение: 22 - 6y + y^2 = 14 y^2 - 6y + 8 = 0 (y - 4)(y - 2) = 0 y1 = 4, y2 = 2

Подставим найденные значения y обратно в первое уравнение: x1 = 22 - 64 = -1 x2 = 22 - 62 = 5

Таким образом, система уравнений имеет два решения: (-1, 4) и (5, 2).

Для решения данной системы уравнений:

1. ( x + 3y = 11 )
2. ( 2x + y^2 = 14 )

мы можем использовать метод подстановки. Сначала выразим одну переменную через другую из первого уравнения и подставим её во второе уравнение.

Шаг 1: Выразим ( x ) через ( y ) из первого уравнения

Из уравнения ( x + 3y = 11 ) выразим ( x ):

[ x = 11 - 3y ]

Шаг 2: Подставим выражение для ( x ) во второе уравнение

Подставим ( x = 11 - 3y ) во второе уравнение ( 2x + y^2 = 14 ):

[ 2(11 - 3y) + y^2 = 14 ]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

[ 22 - 6y + y^2 = 14 ]

Перенесем все члены на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

[ y^2 - 6y + 22 - 14 = 0 ]

[ y^2 - 6y + 8 = 0 ]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Для решения квадратного уравнения ( y^2 - 6y + 8 = 0 ) воспользуемся формулой квадратного уравнения:

[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где ( a = 1 ), ( b = -6 ), ( c = 8 ).

Сначала найдем дискриминант:

[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 ]

Теперь подставим дискриминант в формулу:

[ y = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} ]

[ y = \frac{6 \pm 2}{2} ]

Таким образом, получаем два значения для ( y ):

1. ( y_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4 )
2. ( y_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 )

Шаг 4: Найдем соответствующие значения ( x ) для каждого значения ( y )

Для ( y_1 = 4 ):

[ x = 11 - 3 \cdot 4 = 11 - 12 = -1 ]

Для ( y_2 = 2 ):

[ x = 11 - 3 \cdot 2 = 11 - 6 = 5 ]

Ответ

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. ( (x, y) = (-1, 4) )
2. ( (x, y) = (5, 2) )

x = 2, y = 3