Решите систему уравнений х+3у=0 х2+у2-2ху=9

Для решения данной системы уравнений, можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

1. Метод подстановки: Из первого уравнения х = -3у. Подставим это значение во второе уравнение: (-3у)^2 + у^2 - 2(-3у)у = 9 9y^2 + y^2 + 6y^2 = 9 16y^2 = 9 y^2 = 9/16 y = ±3/4

Теперь найдем значения переменной х: х = -3 3/4 = -9/4 или х = -3 (-3/4) = 9/4

Таким образом, решение системы уравнений: х = -9/4, у = 3/4 или х = 9/4, у = -3/4

1. Метод исключения переменных: Поделим второе уравнение на 2: x^2 + y^2 - 2xy = 9/2 (x - y)^2 = 9/2 x - y = ±√(9/2) x - y = ±3/√2

Теперь подставим в первое уравнение: (x + 3y) + 3y = 0 x = -3y

Таким образом, мы получаем систему: x = -3y x - y = ±3/√2

Решая эту систему, мы также получим решения: х = -9/4, у = 3/4 или х = 9/4, у = -3/4

Таким образом, решение системы уравнений: х = -9/4, у = 3/4 или х = 9/4, у = -3/4.

Для начала рассмотрим первое уравнение системы: [ x + 3y = 0. ] Из этого уравнения выразим ( x ) через ( y ): [ x = -3y. ]

Подставим это выражение для ( x ) во второе уравнение системы: [ (-3y)^2 + y^2 - 2(-3y)y = 9. ] Упростим это уравнение: [ 9y^2 + y^2 + 6y^2 = 9, ] [ 16y^2 = 9, ] [ y^2 = \frac{9}{16}. ] Таким образом, получаем два возможных значения для ( y ): [ y = \frac{3}{4} \quad \text{или} \quad y = -\frac{3}{4}. ]

Теперь найдем соответствующие значения ( x ):

1. Если ( y = \frac{3}{4} ), тогда [ x = -3 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{9}{4}. ]
2. Если ( y = -\frac{3}{4} ), тогда [ x = -3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{4}. ]

Таким образом, решениями системы уравнений являются пары значений: [ \left(-\frac{9}{4}, \frac{3}{4}\right) \quad \text{и} \quad \left(\frac{9}{4}, -\frac{3}{4}\right). ]

Эти решения можно проверить подстановкой обратно в оба уравнения системы, чтобы убедиться, что они удовлетворяют обоим уравнениям.