Решите систему уравнений (2x+y)^2=3y (2x+y)^2=3x пожалуйста с объяснением

Приравняем оба уравнения друг к другу:

(2x + y)^2 = 3y (2x + y)^2 = 3x

Так как оба выражения равны между собой, то: 3y = 3x

Делаем замену y = x: 3x = 3x

Таким образом, система уравнений имеет бесконечное количество решений, которые представляют собой прямую y = x.

Чтобы решить данную систему уравнений, начнем с того, что оба уравнения имеют одинаковую левую часть, а именно ((2x + y)^2). Это означает, что правые части уравнений также должны быть равны:

[ 3y = 3x ]

Делим обе стороны на 3:

[ y = x ]

Теперь подставим ( y = x ) в одно из уравнений системы. Используем первое уравнение:

[ (2x + x)^2 = 3x ] [ (3x)^2 = 3x ] [ 9x^2 = 3x ]

Разделим обе стороны на 3:

[ 3x^2 = x ]

Вынесем ( x ) за скобку:

[ x(3x - 1) = 0 ]

Теперь решим полученное уравнение. Оно имеет два корня:

1. ( x = 0 )
2. ( 3x - 1 = 0 ) \Rightarrow ( 3x = 1 ) \Rightarrow ( x = \frac{1}{3} )

Поскольку ( y = x ), то для каждого значения ( x ) соответствующее значение ( y ) будет таким же:

1. Если ( x = 0 ), то ( y = 0 ).
2. Если ( x = \frac{1}{3} ), то ( y = \frac{1}{3} ).

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. ( (x, y) = (0, 0) )
2. ( (x, y) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) )

Эти решения соответствуют значениям переменных, при которых оба уравнения системы удовлетворяются.

Для решения данной системы уравнений мы можем преобразовать ее квадратные уравнения в более простые уравнения.

1. Раскроем квадраты в обоих уравнениях: (2x + y)(2x + y) = 3y (4x^2 + 4xy + y^2) = 3y 4x^2 + 4xy + y^2 = 3y

(2x + y)(2x + y) = 3x (4x^2 + 4xy + y^2) = 3x 4x^2 + 4xy + y^2 = 3x

1. Теперь объединим оба уравнения в одно и преобразуем его к стандартному виду квадратного уравнения: 4x^2 + 4xy + y^2 = 3y 4x^2 + 4xy + y^2 = 3x

2. Вычитаем второе уравнение из первого: (3y - 3x) = 0 3(y - x) = 0 y - x = 0 y = x

3. Подставляем y = x в любое из исходных уравнений и находим значение x: (2x + x)^2 = 3x (3x)^2 = 3x 9x^2 = 3x 9x^2 - 3x = 0 3x(3x - 1) = 0 x = 0 или x = 1/3

4. Подставляем найденные значения x обратно в уравнение y = x: y = 0 или y = 1/3

Таким образом, система уравнений имеет два решения: (0,0) и (1/3, 1/3).